DIFFÉRENTIEL

Tangentes et normales aux courbes planes. Expression générale de la longueur de la tangente, de la soustangente, de la normale et de la sous-normale,

106. On appelle, en général , tangente à une courbe la limite vers laquelle tend la direction d'une sécante qui passe par un point constant de cette courbe, et dont un second point d'intersection se rapproche indéfiniment du premier.

Les anciens donnaient des définitions moins générales de la tangente : on les a abandonnées , à cause du grand nombre d'exceptions auxquelles elles donnaient lieu.

Si l'on désigne par F(x, j)=o l'équation d'une courbe quelconque , et par x\ y les coordonnées du point de cette courbe, auquel on veut mener une tangente, l'équation de la sécante menée par ce point et par celui dont les coordonnées sont x'-f- Ax', j'-l- A^', et qui appartient aussi à la courbe , sera , dans un système quelconque d'axes ,

A mesure que le second point d'intersection se rapproche du premier, — ;• tend v:ers la dérivée dey par rapport à j:; il existe donc une direction limite pour la sécante, et l'équation de celte droite que nous appelons tangente est

ii8 couns d\naly$e.

Le coefficient ^^- sera déterminé en fonction de x\y\ d'après les règles du calcul différentiel , au moyen de

dr' dx'

l'équation Y(x^y) = o, qui donne -^, = — — -

dp L'équation de la tangente devient ainsi

107. On appelle normale la perpendiculaire à la tangente, menée par le point de contact. Si les axes sont rectangulaires , son équation sera