j' = — -p:;(jf — jt'), ou j— ^'=: — ^(^-x

dl' ou encore

Si les axes des coordonnées font entre eux un angle quelconque 6, Féquation de la normale aura la forme suivante :

/dF dF \ , IdF dF \

(^-•^' ' (z? -^' *=*»»«) -("-*') W' -di' '=»'' V = ""

Si les coordonnées x'^y' n'étaient pas données et que la tangente, ou la normale, fût assujettie à passer par un point donné, ou bien à être parallèle à une droite donnée, on obtiendrait immédiatement, d'après les équations précédentes , une équation entre x'^ y , qui , jointe \ celle de la courbe, déterminerait ces deux inconnues. Si , au lieu de chercher les solutions réelles de ces deux

P&EMIÈAE PARTIE. II9

équations, on construisait les lieux géométriques qu'elles représentent, en y regardant x\y' comme variables, les points d'intersection de ces lieux, dont l'un est la courbe proposée, seraient les points de contact cherchés.

108. On appelle sous - tangente et sous^normale les parties de Taxe des x comprises respectivement entre le pied de l'ordonnée du point de contact et les points où cet axe est rencontré par la tangente et la normale. Elles ont pour expression la valeur de x — x' relative a y = o dans les équations respectives de la tangente et de la normale. Elles seront dirigées vers les x positifs ou négatifs, à partir du pied de l'ordonnée , suivant que x — x^ sera positif ou négatif.

Nous appellerons longueurs de la tangente et de la normale les parties de ces lignes comprises entre le point de contact et les points où elles coupent respectivement l'axe desx.

Il est facile d^oblenir l'expression de ces différentes lignes. Nous supposerons, pour plus de simplicité, les axes rectangulaires , et nous représenterons par T la tangente, par Nia normale, par S^ la sous-tangente, et par S„ la sous-normale. Cela posé , on trouvera facilement les formules suivantes :

dx'

109. Si Ton applique toutes ces formules à l'ellipse et à l'hyperbole, renfermées dans l'équation

'2a COURS d'ajïaltse.

on trouvera les résultats suivants :

> équation de la tanfi;eQte; à*4:'(/— j')rpï*j'(a: — x' ) = o, équation de la normale;.

^t — ; 5 On =

T = ^, V^fl^j'^'-f-à^a;'», Nr= ^^s/a^'^-h b*x'\

110. Si Ton considère la parabole ayant pour équation y^ = 2px, on trouvera

^ J équation de la tangente;

ou jrx'=p{x'i'x') )

y — y^ =- {x — j?'), équation de la normale \