PREMIERE PARTIE

Si l'on prend la sous-tangente et la sous-normale sur Taxe des j^ au lieu de l'axe des x^ elles auront pour expression la valeur dey — y' relative à a: = o.

On trouvera ainsi

S/ — — a j Su —

112. Considérons encore la courbe nommée cycloïde , qui jouit de plusieurs propriétés très -remarquables.

Elle est engendrée par un point de la circonférence d'un cercle qui roule , sans glisser, sur une droite indéfinie à laquelle il est tangent. Elle se compose d'une infinité de branches superposables^ ayant chacune pour base une partie de la droite égale à la circonférence du cercle mobile.

Prenons la droite doniiée pour axe des x, et l'origine en un quelconque des points où elle est rencontrée par la courbe. Soient B [fig* i) le point de contact du cercle générateur avec l'axe des a:, et l'arc MB égal à AB; le point M appartiendra à la cycloïde. Désignons par (ù l'angle MOB qui pourra prendre toutes les valeurs depuis o jusqu'à dz 00 ^ il est facile d'établir les équations suivantes, dans lesquelles a désigne le rayon du cercle :

X z=z a[vi — sinw), j = « (i — cosw).

Ces équations ont lieu dans toute l'étendue de la courbe. L'équation entre xelj sera

jc = û arc ces sj^ay — / * j

mais il faudra avoir soin de changer alternativement Ir signe du radical dans les deux moitiés de chacune des branches successives, Difl'érentiant ces équations, on

COURS

D AU ALYSK.

aura

dxziz

[ — cos w) dfù ==

r/ûRw,

<zsin

dy dx

2ût — J

équation de la tangente ;

— j^' = — i / — ?- [x — x')^ équation de la normale ;

^'=-^ V aa-r" S. = v'2«/' -r" = BP,

MB.

La valeur de S„ ou de N prouve que la ligne MB est la normale, et, par suite, que la tangente est MC.

Formules analogues en coordonnées polaires»

113. Soit l'équation F (9, r) =o entre les coordonnées polaires 6 et r, et proposons-nous de déterminer la tangente au point M (fig' 2) de la courbe qu'elle représente. Pour cela , cherchons Tangle /x que fait cette tangente avec le rayon vecteur OM -, le triangle KMN donne

KM sin N

KN sin KMN

d'où , en passant aux limites ,

rdB r

La sous- tangente et la sous-normale se rapportant à la perpendiculaire au rayon vecteur, menée par Ir pôle. On

PRRMIKRK PARTIF.. 123

trouvera immédiatement les formules suivantes :

Appliquons ces formules à quelques exemples.