Soit d'abord la spirale d'Archimède
r^aBy tangp = ô, S,. =.«.
On voit que la sous-normale est constante et que la courbe, tangente à Taxe , au pôle , tend de plus en plus à être perpendiculaire au rayon vecteur.
Soit maintenant l'équation r = - de la spirale hyperbolique :
dr a ^ «
^ = -0-»' tangf* = — ^ S, = — «.
Ainsi, dans cette courbe, c'est la sous-tangente qui est constante.
Considérons encore la spirale logarithmique dont l'équation est
dr
.« = fnae' dB
r = ae'"^, 1^=— -'«^
ï ^. '* ^ tang a = — 9 S, = — 5 S„ = mr, m m
= .N^jt!!L\ „4ry/r
La valeur de tang |x montre que le rayon vecteur es^ toujours également incliné sur la tangente.
Les valeurs de S^ et S„ prouvent que les extrémités de la
124 COUKS d'analyse.
normale et de la tangente décrivent des spirales identiques avec la première, et semblablemeut situées par rapport à des axes différents passant par le même pôle.
Les mêmes formules s'appliquent très-simplement aux sections coniques.
Théorie des asymptotes,
115. On appelle asjmptote d'une branche de courbe infinie une droite telle , que les points de cette courbe s*en approchent indéfiniment sans jamais la rencontrer, à mesure qu'ils s^éloignent indéfiniment sur la branche que Ton considère.
Toute asymptote non parallèle à Taxe des y aura une équation de la forme
y ^=z hx -^ /,
A et / ayant des valeurs finies.
La branche de courbe aura pour équation
V étant une fonction connue ou inconnue de x, mais qui tend vers zéro à mesure que x augmente. On en déduit
A = lim-9 /=lim(j^ — fcj?). Réciproquement, des va-
leurs de ft et / ainsi déterminées pour une branche réelle ile courbe correspondront nécessairement à une asymptote de cette branche, puisque j^ — hx — /a pour limite zéro, pour les points de cette branche dont \x croit indéfiniment.
Les asymptotes parallèles à Taxe des x correspondront aux valeurs de h égales à zéro. Pour trouver les asyn^totes parallèles à Taxe desj^, on considérerait l'équation X = Vy -f- /' et l'on ne s'occuperait que des valeurs de A' égales à zéro.
PREMIKRK PARTIE. 125
116. Appliquons ces considérations à une courLe dont l'équation peut se partager en plusieurs parties homogènes par rapport à x^ y^ et peut être mise , par conséquent, sous la forme suivante, où nous supposerons les exposants de x décroissants :
Soit - = p, iiQi\xy^=px\ il faudra d'abord trouver la
limite de p pour a: = oo.
La substitution donne
j:« F(y^) 4- ^"/(a?) -h . . . = o , d'où
et à mesure que x augmente, F(/7) s'approche de zéro: donc les valeurs limites de p^ c'est-à-dire les valeurs de h^ sont des racines réelles de l'équation
Il reste à trouver la valeur de / correspondante à une valeur de fc 5 pour cela on posera y — Ax = f , et l'on cherchera la limite de t.
L'équation de la courbe devient, par cette substitution,
mais puisque F (A) = o, on a
9 étant compris entre o et -f- 1 5 on a donc
120 COURS d'aNALYSK.
OU
Sim = «-Hi,a:=oo donnera pour limite de f , c'està-dire pour valeur de / ,
- rik)
Si m > n H- i , on a
Si m<^ /i -H 1 5 t n'a pas de limite, et il n'y a pas d'asymptote pour cette valeur de h. Ainsi , en général , Té-
quation de l'asymptote sera jr =: hx — F^^IT' /(*) se
rapportant aux termes de degré m — i , et devenant nulle si n<^m — I : il n'y a pas d'asymptote si n'^ m — i .
Si n <Cim — I , l'équation de l'asymptote est de la forme j^ — kx = o.
Si , dans le cas de n = m — i , la valeur de k tirée de F(^) = o satisfaisait aux équations F'(/r) = o^f[h) = o, l'équation de l'asymptote deviendrait indéterminée j et l'on ne pourrait en tirer l'équation cherchée , parce que le terme en x"*"* devient du même ordre que les deux premiers, et ne peut plus être négligé.
Dans ce cas , l'équation qui détermine la limite de t se mettrait sous cette forme
x"*~'*(f l-\ étant le troisième terme de l'équation proposée.
Divisant par .r'""* et passante la limite, / sera déter-
PRr.MTf.RF. PARTIR. I 27
mine par Tëquation
On agirait semblablement si ces trois nouvelles fonctions devenaient nulles, pour celte valeur particulière de k.
Si 7i<^ m — 1 , et F' (fr) =: o, on n'a pluLs nécessairement / = G.
H7. Si la courbe est rapportée à des coordonnées polaires, on connaîtra toutes les directidhs qui peuvent donner des asymptotes , en cherchant toutes les valeurs de 9 qui donnent à r une valeur infinie.
Soit a une de ces valeurs de 6, on cherchera la limite de r sin (9 — a) qui est l'expression de la perpendiculaire abaissée d'un point quelconque de la courbe sur la droite menée par le pôle sous l'angle ce avec Taxe. Cette limite sera la distance de cette droite à l'asymptote, et le signe dont elle sera affectée fera connaître de quel côté elle se trouve. Si le produit r sin (0 — a) croît indéfiniment , il n'y a pas d'asymptote dans cette direction.
On trouvera le même résultat en cherchant la limite
de r (0 — a) ou celle de r sin [B — a) , puisque la limite de
sin (0 — a) ,,
— -^r est 1 unité.
e — oL
H8. Soit pour exemple l'équation générale
Aj , As , . . . , A„, étant des fonctions quelconques de 9. L^équation F (0) = o fera connaître toutes les directions possibles des asymptotes. Soit a une des racines réelles de cette équation et = a -h cî ; puisque F (a) = o , on aura F (a H- ^) = dF' (a + 9d) , et l'équation de la courbe devient alors , en divisant par r'""~%
ro\ F' (a H- B$) H-/(a -}- ^) +...=: o.
'^S COURS d'analyse.
Lorsque r devient infini, il ne reste plus que les deux premiers termes, et l'on trouve
Hnir(e — a) = Hm nî
Si l'on avait /(a) = o, F' (a) = o, on agirait comme dans le cas précédent.
i 19. Soit proposé de trouver les asymptotes de la courbe ayant pour équation
«r ' + ^^X H- <^^^ -h df -+- ex -\-/= o;
on a , dans ce cas ,
f{k)=zdA -f-6'.
A = '^^^^ ^ 9 ce qui exclut Tellipse.
L'équation de ces asymptotes devient
dk H- c
y z= kx
VLak -f- b
Le dernier terme devient infini dans le cas de la parabole , et , par conséquent , l'hyperbole est la seule courbe du second degré qui ait des asymptotes.
120. Soit maintenant j'- = ae"*', équation de la loga* rithmique y. qui ne rentre pas dans la classe générale considérée ci-dessus , parce que e "*' n'est pas d'un degré fini par rapport à x.
On cherchera toujours la limite de -, et ensuite celle de
y — hx.
On trouve immédiatement /c = o ^ ensuite la limite de y est zéro , et correspond aux x négatifs. L'asymptote est donc Taxe des x^ et dans la direction seule des x négatifs.
