PREMIÈRE PARTIE
tain nombi'e très-limité^ auxquelles ou est convenu de chercher à ramener toutes les autres. Elles sont telles que, soit par les premières opérations de l'arithmétique , soit au moyen de Tables construites d'avance , on peut , avec un degré suffisant d'approximation , obtenir leurs valeurs • correspondantes à des valeurs numériques quelconques de la variable dont elles dépendent.
Ces fonctions , que Ton désigne sous le nom de fonctions simples, sont les suivantes, dans lesquelles a désigne une quantité indépendante de la variable x :
a -H x, a — a:, ax^ -j x"*(m étant un nombre réel quel-
conque), a', sino:, cosj:, tango:, cotor, sécx, cosécx; . et les fonctions inverses log x, arc sin x, arc cos x^ arc tangjr, arc cotor, arc sécj:, arc coséc jt.
Une fonction quelconque de x peut être soumise aux opérations qui constituent une nouvelle fonction 5 on a alors une fonction d'une fonction de x. En la considérant elle-même comme une variable, on peut encore la soumettre aux opérations qui constituent une nouvelle fonction, et ainsi de suite. Les fonctions obtenues de cette manière se nomment , en général , des Jonctions fie fonctions.
Lorsqu'une fonction dépend de plusieurs fonctions de x^ on la nomme une fonction composée de x, et c'est le cas le plus général des fonctions explicites.
25. Dans tous les cas, lorsque deux fonctions, renfermant un nombre quelconque de variables dépendantes, d'une seule, sont toujours égales , quelque valeur qu'on donne à cette variable, il esl clair que leurs accroissements correspondants sont toujours égaux, et que, par conséquent, leurs dérivées le sont aussi, ainsi que leurs différentielles.
D'où il résulte que, quand une équation a lieu pour
toute valeur de la variable indépendante , les dérii^ées ou les différentielles de ses deux membres sont égales, quelque valeur que Von donne à cette variable.
Nous allons faire connaître les principes au moyen desquels la détermination des diflerentielles ou des dérivées de toutes ces fonctions se ramène à celle des différentielles • ou des dérivées des fonctions simples.
Différentiation des fonctions de fonctions.
26. Considérons une fonction u de x, déterminée par • la suite d'équations
et cherchons sa dérivée par rapport à x^ ou la limite du rapport — , dont les deux termes tendent vers zéro. Soient toujours
du y dzy dy ^ dx
des quantités telles , que le rapport de deux consécutives soit la limite du rapport des accroissements correspondants
A«, Az, A/, Ax. •
D'après ce que nous avons vu, dans le n^ 21 , le rapport de deux quelconques des quantités dx^ dj^ etc., par exemple du et dx^ sera la limite du rapport de leurs correspondantes Az/, ùx^ et par conséquent la dérivée de u par rapport à x. Or on a identiquement
du du dz df dx dz dy dx
Donc la déris^ée de u par rapport à x est le produit des dérivées de u par 7 apport à z ^ de z par rapport hy^ et de y par rapport a x
PRKMIÈRE PARTIE. 20
C'est en cela que consiste le principe delà differemialion des fonctions de fonctions. Il a lieu évidemment, quel que soit le nombre des fonctions accumulées 5 et il ramène à la simple différentiation de chacune de ces fonctions, considérée isolément.
Différentiation des fonctions inverses.
27. Il est très-facile de différentier la fonction inverse d'une fonction que l'on sait différentier. Soit proposée la fonction F [x) dont l'inverse est <p [x) ; cela signifie que si l'on pose *
on aura
Ces deux équations sont les mêmes sous une forme différente , et donneront les mêmes accroissements correspondants pour X eiy. Soient dx^ dj des quantités ayant pour rapport la limite du rapport des accroissements Ax, ùky\ la dernière équation donnera
c'est-à-dire
dx
dx
F'W = -TO=r7'
d'où il résulte que, pour avoir la dérivée d'une fonction F (pc) inverse de la fonction (p (pê) , il suffira de prendre la réciproque de la dérivée 9' (j:) et d'y remplacer x par la fonction proposée F (.r) .
3o COURS d'analyse.
Expression de t accroissement infiniment petit d'une fonction de plusieurs variables dépendantes ou indépendantes.
28. Considérons une fonction r qui dépende de deux variables u , ^, et soit
Si Ton donne à m et i^ des accroissements infiniment petits ^u^ Ai^ dépendants ou indépendants l'un de l'autre, suivant que u et i' le seront eux-mêmes , Faccroissement correspondant de y sera
ÙLf z= F(a.-h A«, P -H Ap) — F {u , c) et pourra se mettre sous la forme
Aj=r F(tt -f--A«, f) — F(a,p) -f-F(a 4- Aa,P -4- Av) — F(«-4-A//., i').
Les deux premiers termes peuvent s'écrire ainsi :
F(i£-j-Aa, if) — ¥{u, p)
Au
Au,
Le coefficient de Aune diffère que d'une quantité infiniment petite, de la dérivée de F (m , i^) par rapport à m, i> étant considéré comme constant. Soit F, («, p») cette dérivée , que l'on appelle dériv^ée partielle de F (w , p) ou dey par rapport k w^ l'expression précédente pourra se mettre sous la forme
a désignant une quantité qui devient nulle avec A?*. La seconde partie peut se mettre sous la forme
F(tt-4-AM, c'4-Ap) — F(«-HA//,p)
Af>,
PERMlè&R PARTIR. 3l
et le coefficient de A^» ne différera de la dérivée de F (m -4- Ali , i^) par rapport à i^ considéré comme seule variable, que d'une quantité S qui deviendra nulle avec Ai^. Soit Fj (m, i^) la dérivée partielle de F (m, f^) par rapport à f^; on pourra donc mettre la seconde partie de dy sous la forme
Mais F, (u -h Am, j^) ne diflère de Fj (m, i^) que d'une quantité qui deviendra nulle avec Au-, l'ajoutant avec j3, et en désignant leur somme par a', la seconde partie de Aj aura pour valeur
et par conséquent , en réunissant les deux parties de A)', A/ = [F, (w, v) -h a] ^u •+. [F,{«, p) -i- a'] Ap.
Or a^u^ étant infiniment petit par rapport à la première partie, l'est par rapport à Ay lui-même; et il en est de même de a'Af^, soit que Au et Ai" soient dépendants ou indépendants l'un de l'autre. Donc, en désignant p^r w une quantité infiniment petite par rapport à A)', on aura
Aj = F, (w , p) Aa -H Fa (// , p) A(' -h 0).
On représente les dérivées partielles Fj (m, ^^j, Fj(m, r)
par — ^,-^-^' — b ' ou -r-j -r-; mais u tant «len se
* du ctv du dv
rappeler que ces deux dj sont différents et représentent les
différentielles dey relatives* à la variation d'une seule des
quantités m, s^\ on les nomme les différentielles partielles
àey par rapport à u ou à f^. Euler avait proposé d'écrire
ainsi ces dérivées partielles • ( ;7- ) ? ( y- ) • On a supprimé,
depuis, ces parenthèses, parce qu'avec un peu d'attention , toute méprise est impossible. L'équation précédente s'é-
crira alors de cette manière:
dy dy
Aj = --- Aa -h ~- Ai' + w ; du dp
*- • ^ * et il est bon de se rappeler que o) se compose d'abord
d'une partie qui , divisée par Au , devient encore nulle quand on y fait Au = o, et d'une autre partie qui , après avoir été divisée par Am, contient des termes qui deviennent nuls, les uns quand on y fait Au = o, et les autres quand on y fait ùkV = o.
On aurait des résultats analogues pour un nombre quelconque de variables u, v^ etc., soit entièrement indépendantes , soit dépendantes les unes des autres , ou d*autrès variables quelconques.
Différentiation des fonctions composées.
