PREMIÈRE PARTIE. l3l
d'où l'on tire
dx
Or, si Ton fait croître x indéfiniment, F ( - ) tendra vers zéro, et Féquation (2) donnera
(3) ,lii„-^ = lim$^.
X dx
Ainsi d'abord, lorsqu'une branche de courbe a une asymptote, sa direction est la limite de celles des tangentes à cette même branche.
Cherchons maintenant la limite du point où la tangente rencontre Taxe des y^ et dont l'ordonnée est
dy ^ . dx
L'équation (2) donne
Supposons d'abord n = m — i ou ri<Cm — i, auquel cas la branche de courbe aura une asymptote; on aura alors
dx
Or cette expression peut être simplifiée au moyen de l'équation ( i ) . En effet, en divisant cette dernière par x'"""* et supposant d'abord /i = m — i , on obtient, en faisaat
iSa COURS d'analyse. '
croître x indéfiniment,
Km[.F(j)+/(j)]=a.
L'équation (5) donne ainsi
]\m[ r —x-r-] = lim — ^— ' — — -—
et, par suite,
donc la tangente coupe l'axe des y en un point dont la limite coïncide avec celui où ce même axe est coupé par l'asymptote*
Si Ton avait n<^m — i , la fonction/* n'existerait pas. et Ton trouverait
lim
L'asymptote et la limite des tangentes passeraient alors par Torigine.
Supposons enfin n^ m — i , alors la branche do courbe infinie n'a pas d'asymptote. Faisons n=zm — i-f-<J; l'équation ( i ) , divisée par x", donnera
et, en introduisant cette condition dans l'équation (4) ,
on trouvera que j^ — 07 -j- deviendra infini avec a:, et, par
conséquent, qu'il n'y a pas de limite pour le point de rencontre de la tangente avec l'axe des y.
PREHliRE PARTIE. I 33
On arrivera donc , dans tous les cas , au même résultat., soit en cherchant l'asymptote d'une branche infinie, soit en cherchant la limite des tangentes.
Mais il faut bien remarquer que nous entendons ivi , par limite des tangentes, la droite qui , menée sous Tinclinaisoi) limite, coupe l'un des axes, celui des y par exemple, au point limite où cet axe est coupé par la tangente variable. Ce ne serait pas déterminer une droite , que de dire simplement qu'elle est la limite d'une droite mobile qui ne reste pas toujours parallèle à elle-même. En effet, cette droite est située de la même manière par rapport à des droites parallèles entre elles, quoiqu'elle les coupe en des points qui peuvent être fort éloignés les uns des autres^ et si elle s'approche indéfiniment de Tune de ces parallèles , elle s'approche également des autres , à partir des points respectifs où elle les coupe.
La démonstration que nous venons de donner se déduit si simplement de la formé de l'équation ( i ) pour laquelle nous avions calculé l'équation générale des asymptotes y que nous avons cru ne pas devoir l'omettre. Mais précisément |)arce qu'elle est fondée sur cette forme, elle n'a pas toute la généralité qu'on pourrait désirer, et nous allons traiter la question , indépendamment de toute forme particulière d'équation.
128. Une asymptote est, en général, la limite des tangentes. — Considérons une branche infinie de courbe quelconque ayant une asymptote AX (Jig- 3)^ cette courbe n'étant pas donnée par une équation, il est nécessaire d'en connaître certaines conditions géométriques bien déterminées, sur lesquelles le raisonnement puisse se fonder. Nous admettrons , comme seule définilion de cette courbe , qu'elle est telle , que depuis un certain point B jusqu'à l'infini , ses points aillent constamment en s'approchant de ÂX, et que l'inclinaison de sa
ï34 COURS d'analyse.
tangente sur AX varie toujours dans le même sens. II est d'abord évident que depuis le point R la courbe est convexe vers AX ^ car la tangente en un point quelconque rencontrera AX au delà de son point de contact, puisque les distances à AX vont en diminuant de ce côté : si donc la courbe était concave vers AX, et, par suite, comprise entre AX et sa tangente, elle couperait AX, ce qui est contre l'hypothèse.
Cela posé, menons une droite fixe quelconque AY; prenons sur cette droite un point P plus rapproché de AX que ne l'est le point B, et menons la droite indéfinie PU parallèle à AX. Elle coupera nécessairement la courbe en un seul point M, qui sera d'autant plus éloigné de AY que AP sera plus petit.
Si maintenant pn joint le point P successivement aux différents points de la courbe situés au delà de M, cette droite coupera nécessairement A X, et, par conséquent, rencontrera auparavant la courbe en un second point. Cette sécante, tournant continuellement autour de P, deviendra tangente dans une position unique PQ, et le point de contact N sera au delà de M. Or les tangeiites aux points situés au delà de N couperont nécessairement PQ entre N et Q, et AX au delà de Q5 elles couperont donc A Y entre A et P; et comme PA peut être supposé aussi petit qu'on voudra^ il s'ensuit que les tangentes à la courbe couperont AY en des points qui iront constamment en s'approchant de A , et que leur distance à ce point a pour limite zéro. Comme d'ailleurs l'angle qu'elles font avec AX a zéro pour limite , on peut énoncer la proposition suivante, qu'il faut entendre avec les restrictions indiquées ci-dessus :
Lorsqu'une branche infinie a une asjtnptote , les tangentes à cette branche coupent une droite fixe non parallèle à l'asymptote, en des points qui ont une limite
PRËMli&E PARTIE. 1 35
à mesure que le point de contact s'éloigne indéfiniment^ leur direction a de même une lim,itey et si Von mène par le point limite une droite dans cette dernière direction y elle coïncidera avec r asymptote.
129. Si les conditions géométriques que nous avons admises n'existaient pas , il serait possible que la branche de courbe eût une asymptote, et que les tangentes n'eussent pas de limite.
En effet, si l'inclinaison de la courbe ne variait pas toujours dans le même sens, les tangentes aux points situés au delà de N pourraient ne pas couper PQ entre P et Q, et, par suite, AY entre*P et A; rien ne prouverait alors que leur point de rencontre avec AY aurait une limite, et il est même facile de trouver des cas où cela n'a pas lieu.
Soit, par exemple, Téquation
a ■+■ sin.r
in étant positif et a^ i. La courbe est tout entière audessus de Taxe des x\ de plus, elle s'en approche indéfiniment, et, par conséquent, cet axe en est une asymptote» Cherchons maintenant le point où la tangente coupe Taxe
des r • Son ordonnée r — x -f^ a la même limite que — x -r-9 ^ '^ dx dx
puisque l'ordonnée y du point de contact tend vers zéro..
Mais on a
dy /7î(a-h sina:)
^-— =r a;'~"'cos.r ^^ 9
dx .r*"
expression dont le dernier ternie tend vers zéro. 11 reste donc à trouver la limite de .r *""'" cos a:. Or cette limite est zéro lorsque Ton a m ^ i , et alors la tangente a une limite, qui se confond avec Tasyraptote. Mais si l'on a
m ^=i I , ou • //i <^ I ,
]36 COURS O^ANALYSe.
a?-~ sera indéterminé ^ il pourra avoir toutes les valeurs
comprises entre deux limites finies dans le premier cas , et infinies dans le second. D'où l'on voit qu'une branche de ùourbe peut a^oir une asymptote, sans quil existe une limite pour ses tangentes.
Il est bon de remarquer que la tangente , considérée à partir de son point de contact, tendrait indéfiniment vers
l'axe des x^ parce que j^ et — tendent vers zéro \ mais si on
la prolonge jusqu'à l'axe des y, elle s'écarte de Taxe des x, de quantités finies, ou même croissant indéfiniment, comme nous venons de le démontrer. Or, dans ce cas , on dit qu'une droite n'a pas de limite , parce que c'est toujours à l'origine et aux axes fixes qu'on la rapporte.
130. Toute limite des tangentes est asymptote. — Cette réciproque de la proposition précédente peut être démontrée comme îl suit.
SoitX'X {Jig- 4) une droite vers laquelle convergent les tangentes à une branche de courbe infinie: et par là nous entendons que ces tangentes font avec X' X un angle qui tend vers zéro à mesure que les points de contact s'éloîgnent indéfiniment; et que si par un point A pris sur X'X, on mène un axe fixe AY, il est coupé par la tangente variable en un point dont la limite est A.
Considérons maintenant une tangente quelconque PQ : il est admis qu'à partir d'une certaine position du point de contact jusqu'à l'infini , le point P va en se rapprochant indéfiniment de A , et que l'angle AQP tend vers zéro, ces deux quantités conservant leurs signes, ou en changeant d'une manière quelconque. Or il est évident que si le point do contact M est toujours situé dans la partie PQ de la tangente, quel que soit l'angle des axes dans lequel elle se trouve, sa dislance MT à X'X est moindre
