PREMIÈRE PARTIE

que PA , et , par conséquent , il s'approche indéfiniment de X'X , puisque la limite de PA est zéro par hypothèse. Donc, dans ce cas, la ligne X'X est une asymptote.

Ce cas est celui qui aura lieu, par exemple, lorsqu'à partir d'une certaine position de la tangente , le point Q ira toujours en s'éloignant, et le point P en se rappro-" chant de A; car les intersections successives des tangentes se feront toujours dans l'angle YAX, et, par suite, les limites de ces points , ou les points même de la courbe, y seront renfermés. '

Il reste donc à considérer le cas où le point de contact serait en dehors de la partie PQ. Or nous allons démontrer que la tangente ne pourrait alors avoir pour limite X'X, à moins que les points de cette branche de courbe ne s'approchent indéfiniment de cette même ligne X'X, qui sera par conséquent encore une asymptote.

Concevons , en effet , une branche de courbe infinie dont l'ordonnée ne tende pas vers zéro , et dont la tangente fasse avec l'axe AX [fig» 5) un angle ayant zéro pour limite.

L'ordonnée pourra croître indéfiniinent ou rester limitée : dans ce dernier cas , elle pourra tendre vers une valeur déterminée 5 elle pourra même osciller entre des limites déterminées , de telle sorte que , quelque grand que soit x^ la courbe reste, ou du moins revienne, à certains intervalles , au-dessus d'une parallèle située à une distance finie de AX. Or nous allons démontrer que, dans ces différentes hypothèses, AX ne peut être la limite des tangentes.

En effet , supposons d'abord que l'ordonnée croisse indéfiniment , et menons à AX une parallèle CV, à une distance AC aussi grande que l'on voudra de AX^ cette parallèle rencontrera nécessairement la courbe en un certain point M, et Ja distance CM pourra dépasser toute grandeur donnée. Si maintenant par le point C

i38 COURS d'analysk.

al un point M' de la courbe , situé au-dessus de CV à une distance aussi petite qu'on voudra de M, on fait passer une ligne droite; on sait que, quelque petit que soit l'angle qu'elle fera avec AX, elle finira par rencontrer la courbe en un second point au delà de MM', puisque l'angle de la tangente à la courbe avec AX tend vers zéro. Donc, en faisant tourner cette droite dans le même sens, elle finira par devenir tangente en un point situé au delà de M. Donc, en prenant des, points assez , éloignés sur la courbe la tangente coupera A Y en des points C situés à des distances aussi grandes qu'on voudra de A. Donc enfin les tangentes n'ont pas pour limite AX.

Supposons maintenant que l'ordonnée ne croisse pas indéfiniment, et que les points de la courbe restent constamment au-dessus d'une droite BU menée parallèlement à AX à une distance déterminée diflérente de zéro , ou bien passent au-dessus et au-dessous de BU à des intervalles quelconques. Considérons un point M de la courbe situé au-dessus de BU à une distance de AY plus grande qu'une quantité donnée quelconque, et menons, par ce point, MD parallèle à AX (Jig' 6), En raisonnant comme dans le cas précédent, nous démontrerions qu'il existe une tangente en un point situé sur la courbe , au delà de M , et rencontrant AY en D, et, par conséquent, au-dessus •de B ^ d'où il suit que AX n'est pas la limite des tangentes.

Donc enfin AX ne serait pas la limite des tangentes si les points de la courbe étaient situés en dehors de la partie de la tangente comprise entre les deux axes, et qu'en ^ même temps leur distance à AX ne tendit pas vers zéro. Mais si cette distance tend vers zéro, AX est asymptote. D'où il resuite enfin que, quelque part que soit situé le point de contact sur la tangente variable , si cette droite tend vers une limite, dans le sens précédemment défini , cette limite est une asymptote.

Différentielles de l'arc, de l'aire et 'de i inclinaison

d'une courbe plane»

131. On ne peut attacher un sens précis à la longueur d'une courbe, qu'en donnant ce nom à la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone inscrit dans cette courbe, à n^esure que ses côtés tendent vers zéro.

Mais il faut démontrer que cette limite existe et est unique , quelle que soit la loi suivant laquelle les côtés de ce polygone tendent vers zéro.

Pour cela, concevons d'abord qu'il n'y ait que deux cordes inscrites dans l'arc entier que l'on considère^ puis inscrivons-en deux dans chacune des deux subdivisions de cet arc , et de même deux dans chacune des nouvelles subdivisions, et ainsi de suite indétiniment , de sorte que le nombre dés côtés soit exprimé par la formule 2", n croissant indéfiniment. Le périmètre croîtra conslammenl; et comme on peut facilement assigner une quantité finie au-dessous de laquelle il reste toujours, il tendra évidemment vers une certaine limite. 11 reste à démontrer que tout autre mode de division de l'arc conduirait h la même limite.

Considérons, en effet, deux polygones inscrits ayant les côtés extrêmement petits, Tun appartenant à la série que nous venons de désigner, et le second, à toute autre loi 5 menons des ordonnées par tous les sommets de l'un et de l'autre: les deux périmètres seront partagés par ces ordonnées en un même nombre de parties, et celles qui sont comprises entre deux ordonnées consécutives ont un rapport d'autant plus près de l'unité , que les côtés seront plus petits; car leurs directions différeront infiniment peu de celle de la tangente voisine. D'où il suit que le rapport des deux périmètres tend indéfiniment vers l'unité à me-

l4o COUf^S D*ANALYSE.

sure que les côtés tendent vers zéro. La limite obtenue par le premier mode de subdivision est donc la même que pour tout autre.

Il est bon d'observer qu'on trouverait encore la même limite si les sommets du polygone n'étaient pas sur la courbe même, mais en étaient infiniment voisins , et qUe les côtés eussent toujours pour limites de leurs directions ^celles des tangentes aux points infiniment voisins. On pourrait encore considérer des polygones circonscrits à la courbe 5 on pourrait même prendre une suite de lignes séparées les unes des autres. Imaginons, par exemple, des parallèles qui coupent l'arc de courbe et soient infiniment voisines les unes des autres 5 si par chaque point dédivision on mène une tangente , la suite discontinue des portions de ces tangentes comprises entre le point de contact et la parallèle voisine , aura évidemment la même limite que le périmètre inscrit. On trouverait encore bien d'autres manières de parvenir à la même limite par des sommes de lignes droites la. seule condition nécessaire est que ces sommes et les périmètres inscrits se composent d'éléments correspondants dont le rapport ait l'unité pour limite.

D'après notre définition de la longueur des courbes , on reconnaîtra, facilement que toute courbe convexe fermée est moindre que les lignes qui l'enveloppent*, et que si l'on n'en considère qu'un arc, il est moindre que toute ligne qui l'enveloppe, et est terminée aux mêmes points.

11 est facile de voir aussi que la limite du rapport d'un arc infiniment petit à sa corde est l'unité, et que, par conséquent, on peut prendre pour accroissement infiniment petit d'un arc la corde qui soutend F accroissement infiniment petit de cet arc.

Désignant par s la longueur de l'arc , on aura donc ainsi

As = yAx' -f àf^ 4- w = A.r i/ l -H — ^ -h &>,

P&KMliRE PARTI?.. I^i

0) étant infiniment petit par rapport à As-^ on en déduit

{fy

Dans un système de coordonnées polaires on aura

ds I dr^ , I — r-

- = Y/r'H- — , ou ds = )/r^dB^-i-dr^.

\ 32. L'aire comprise entre deux ordonnées , l'axe des x et l'arc d'une courbe , croit d'une quantité comprise entre deux parallélogrammes dont la limite du rapport est l'unité, à mesure que Ax tend vers zéro : on peut donc prendre l'un quelconque des deux au lieu de l'accroissement même de l'aire, sans altérer la limite du rapport à Ax, Si donc on désigne Taire par A , on aura

-y- = jr sm , ou rfA = jr^^ ^^^ ®> ax

6 désignant l'angle des axes.

Dans un système de coordonnées polaires , les deux parallélogrammes seront remplacés par des secteurs semblables , et l'on trouvera

= — , ou dA = \r^dB.

133. L'inclinaison y de la tangente sur l'axe des x est déterminée par l'équation

dr rang, = Sï'

d'où

d(D d^Y dx^