COS

dx dx^ dy^

l42 COURS d'analyse.

OU

dx

dr^

Cette valeur de dcf est ce que nou^ nommerons angle de contingence ^ il peut être pris pour A(p, qui est celui des deux tangentes aux points dont les abscisses diffèrent de /ir, sans que les limites des rapports soient altérées.

Dans un système de coordonnées polaires, Tangle de deux tangentes consécutives , ou la différence infiniment petite de l'inclinaison y de la tangente sur l'axe fixe, est égal à l'angle des deux rayons vecteurs correspondants, plus l'accroissement de l'inclinaison de la tangente sur le rayon qui passe au point de contact. On trouvera ainsi

dr^ d^r

^ db^ dB^' ^^ 'h = ^. d9.

dO'

Concavité et convexité,

134?. On dit qu'une courbe est concave en un de ses points par rapport à une droite donnée, lorsque, à partir de ce point, ses deux branches commencent par être comprises dans l'angle aigu formé par la droite donnée et la tangente à la courbe au point queFon considère. Lorsque, au contraire, les deux branches commencent par être en dehors de cet angle, on dit que la courbe est convexe en ce point par rapport à la droite.

Nous allons faire connaître les caractères analytiques qui correspondent à ces deux circonstances, en supposant qu'on ait pris la droite donnée pour axe des x. Dans le cas de la concavité, l'ordonnée orthogonale de la courbe

PRFMIF.RK PARTIE. 1^3

doit être moindre en grandeur absolue que celle de la tangente au point que l'on considère , pour les valeurs de x infiniment voisines de celle qui correspond à ce point. Ainsi Fordonnée de la courbe sera plus petite que celle de la tangente lorsqu'elle sera positive, et plus grande lorsqu'elle sera négative. L'inverse aura lieu pour la convexité.

Or, en désignant par x', j' les coordonnées du point donné, et par h une quantité positive ou négative, qui peut devenir moindre que toute quantité donnée, on a pour les points de la courbe ,