Soient

X = ¥{u, P, w..,) et

y sera alors une fonction composée , relativement à x.

Pour avoir sa dérivée, on remarquera que, d'après ce qui précède, on a, en supposant les accroissements infiniment petits,

dy dy dr

' Ar=-f Aa-f-~-AP4--f AM^-f-.-.-hw, du dv dw

(ù étant infiniment petit par rapport à Ajr^ ou à une autre quelconque des différences.

Divisetnt par Ar et passant aux limites, on obtient

dy dy du dy dv dy dw

dx du dx dv dx liw dx * * * ' •

expression dans laquelle il ne faut pas oublier que

-r-> ~î -7- sont les dérivées partielles de la fonction r. da dp div * '^

Si j: entrait explicitement dans F (m, j^, w. ..), par exemple si m n'était autre chose que x, -^ deviendrait

-^ et serait la dérivée partielle de la fonction par rapport

kx\ tandis que le -^ du premier membre est la dérivée

totale de la fonction dans laquelle on fait varier toutes les quantités dépendantes de x. On ne se méprendra jamais sur le sens de ces nottations: c'était pour éviter toute crainte à ce sujet , qu'Eukr avait proposé , comme nous l'avons dit , de mettre entre deux parenthèses les dérivées partielles^ mais on a renoncé à cette précaution.

L'équation ci-dessus donne, en multipliant les deux membres par dx^

dY—-r-du-^-^dv -f-S^ da'-\-, , . , du dv dw

On peut donc énoncer ainsi le principe de la diiïerentiation des fonctions composées :

La d^érentielle d'une fonction composée est égale à la somme de ses différentielles partielles y relatives à chacune des variables qui y entrent explicitement.

Quant aux diflférentielles du^ dv^ etc., de ces dernières, elles se rapportent toutes à la diiFérenti^Ue dx de la variable unique dont elles dépendent.

30. Théorème des fonctions homogènes, — La différentiation des fonctions composées donne la démonstration d'un théorème remarquable sur les fonctions homogènes. On dit qu'une fonction de plusieurs variables est homogène et du degré m , lorsqu'en multipliant chaque variable par une indéterminée t, la fonction se trouve multipliée part'".

2* édit. 3

Cela posé , soient m = F (or, j-, z. . .) une fonction homogène du degré w , et (p(x, j-, ^...),i|;(a:, j, 5?...) ses dérivées partielles par rapport à x, y^ etc. ^ on aura, d'après la définition précédente ,

(i) F(a', <r, tz, . .) = ^'"F(x, y, z).

Différentiant les deux membres par rapport à la variable t seulement , il vient

ff[tXjtjrytz, . ,)x-^-^{tx^ty^tz. . •)y-\'- • . = /w^'"~"'F(a:, j, z);

faisant ^ = i dans cette identité, on aura la suivante :

, . du du du

C'est en cela que consiste le théorème des fonctions homogènes.

On peut remarquer que si , dans l'identité ( i) , on sup-

pose t = -5 on obtient

¥(xy y, g-O ^ p/^ J ^, x^ \ ^ x"^ X

Ainsi une fonction homogène de degré m , divisée par la puissance m d'une des variables , ne dépend plus que des rapports des autres variables à la première.

Différentielle d'une somme , d'un produit , ou d'un

quotient.

31 . La règle précédente , appliquée à une somme de termes, montre que la différentielle d'une pareille fonction est la somme des différentielles de chacun de ses termes, ce qui était d'ailleurs évident de soi-même.

Si Ton suppose maintenant j = mp'iv..., la même règle donnera, en observant qu'en général d[AF {x)']=AdF(x)j