PREMIERE PARTIE* l

./n /sv9 J^mî ^^ il ^st évident quelles seront les mêmes pour les deux courbes, puisque les ordonnées y i,j^s,..., y ^

sont les mêmes . Les rapports -— 5 -r- v • 9 — ; — ^ seront

donc identiquement les mêmes de part et d'autre, et, par suite, leurs limites seront aussi les mêmes.

Les m — I premières dérivées de y par rapport à t auront donc les mêmes valeurs au point commun, dans les deux courbes ,^ et il en sera de même de

dx d^x d^~^x

ï -TT-9"M

dt dt^ dt

Or on sait, diaprés les formules relatives au changement de la variable indépendante , que les valeurs de

dy d^x d'P-^y

dx dx^ dx*"-^ .

Ae dépendent que des dérivées de x et de j^ par rapport à f , depuis le premier ordre jusqu'à celui que l'on considère, inclusivement.

Donc, quelle que soit la loi continue suivant laquelle les points communs se rapprochent du premier, la courbe limité sera telle , que pour x = Xi les quantités

dfx d'^y, d'^'jr,

" fitr dx^ r/j?**"'

auront la même valeur si on les tire de son équation, ou de l'équation de la courbe donnée.

Donc , pour déterminer les m coefficients de l'équation de la courbe osculatrice, il suffira d'égaler les valeurs des

m quantités j] 5 ;r^ » " * ' , „,j^" * que Ton tirera des équa-

tions des deux courbes , et dans lesquelles on donnera à xelj les valeurs x^^ji du point que Ion a choisi sur la première courbe.

i56 Gonns d'analyse.

Mais on formera plus simplement ces m équations en difTérentiant m — i fois Téquation qu'il faut déterminer, et remplaçant dans celle-ci et dans ses m — i dérivées, .r et ^ par j:,, y^^ et les dérivées de^ par celles qu'on tirera de l'équation connue.

Telle est la méthode générale au moyen de laquelle on trouve l'équation de la courbe osculatrice d'une espèce donnée.

» ^ ' Contact des courbes planes.

ISl. Lorsque deux courbes ont un point commun, et que Ton augmente l'abscisse de ce point d'une quantité infiniment petite, la différence des ordonnées est généralement du premier ordre.

Si cette différence est du deuxième ordre, on dit que les courbes ont un contact du premier ordre 5 si elle est du troisième ordre, on dit que le contact est du second^ et , en général , il y a un contact du w*^'"* ordre entre deux courbes, lorsque la différence de leurs ordonnées, à partir du point commun, est un infiniment petit de Tordre w -h 1 1

Entre deux courbes qui ont un contact d'un certain ordre , il est évidemment impossible qu'il en passe une autre dans le voisinage du point commun, si son contact avec l'une quelconque des deux est d'un ordre inférieur.

Pour qu'il n'y ait rien d'incertain dans cette définition des contacts de différents ordres , il est nécessaire de démontrer que l'ordre du contact est indépendant de la direction des axes \ or c'est ce que l'on établit facilement en prouvant que, pour un point quelconque de l'une des courbes , les différences des ordonnées des deux courbes considérées relativement à des axes différents sont dans un rapport fini. Cette différence est la plus petite possible