PREMIÈRE PARTIE. I

quand les ordonnées sont perpendiculaires, à la tangente au point commun.

La seule direction qu'on doive excepter pour les ordonnées est celle de la tangente au point commun.

Maintenant, si l'on développe en séries les ordonnées des deux courbes suivant les puissances de Taccroissement de l'abscisse du point commun, on reconnaît immédiatement que le contact entre ses courbes sera de l'ordre n , si les n premières dérivées de l'ordonnée par rapport à l'abscisse sont respectivement égales pour chacune des courbes, quand on y substitue l'abscisse du point commun : car, dans ce cas, la différence des ordonnées, exprimée au moyen des deux termes qui complètent respectivement les deux séries, est un infiniment petit de l'ordre /i -4^ i .

C'est là le caractère analytique auquel on reconnaît l'ordre du contact de deux lignes qui ont un point commun .

Autre manière d'envisager les courbes osculatrices.

152. Il résulte de ce qui vient d'être dit sur le contact des courbes , que pour avoir la courbe d'une espèce donnée , qui a le contact de l'ordre le plus élevé avec une courbe dont l'équation est connue , il suffit de déterminer les coefficients arbitraires de l'équation générale des courbes dont l'espèce est donnée , en exprimant que , pour l'abscisse que l'on considère, les ordonnées sont respectivement égales , ainsi que leurs dérivées successives jusqu'à l'ordre le plus élevé possible. On établira ainsi autant d'équations qu'il y a de coefficients indéterminés, b'ordre du contact sera le nombre de ces équations , moins une.

On voit par là que la courbe osculatrice et la courbe qui a le contact de l'ordre le plus élevé sont identiques.

i58 cou as d'analyse.

Pour la ligne droite, dont Féquation n'a que deux coefficients arbitraires, le contact ne sera, en général, que du premier ordre y il sera du deuxième pour le cercle. Mais il pourra arriver qu en certains points particuliers le contact soit d'un ordre plus élevé.

Lorsque Téquation de la courbe osculatrice cherchée n'est pas résolue par rapport à j^, on forme ses équations

différentielles successives et Ton y substitue à j-', -—79 etc.,

les valeurs tirées de Téquation de la courbe donnée. Les seules inconnues sont alors les coefficients; et sHls entrent tous au premier degré , on trouvera un seul système de valeurs, et, par conséquent, une seule courbe osculatrice.

Lorsque le nombre des dérivées communes est pair, la différence est d'un ordre impair, et , par conséquent , change de signe avec l'accroissement de x^ : donc alors les courbes se coupent. C'est ce qui arrive, en général, pour le cercle osculateur.

Si , au contraire , le nombre des dérivées communes est impair, la différence est d'ordre pair et ne change pas de signe avec l'accroissement de x^ : les lignes ne se coupent donc pas. C'est ce qui a lieu dans le cas de la ligne droite, excepté aux points d'inflexion.

1S3. Les courbes les plus simples que l'on puisse mettre en contact avec une courbe donnée sont celles qui sont renfermées dans l'équation

j = A 4- Ba? -f- Cj:^ 4- . . . H- K.r

On peut établir un contact de l'ordre m — i entre, les deux courbes, et Ton aura immédiatement l'équatiiïn de la courbe osculatrice en développant son ordonnée par la formule de Taylor, après avoir remplacé x par x^ -i- (x — x'). Cette équation est la suivante, dans la-

PEEMIERE PAKTIK. iSQ

quelle les dérivées de y' sont remplacées par celles que donne l'équation de la courbe connue ,

dx'^ dx'^ 1.2 dx'^ 1.2. 3. .«m

si m = I , on a la droite osculatrice dont l'équation est

dv'