Cercle oscillateur, — L'équation générale du cercle est

a, 6 étant les coordonnées du centre, et R le rayon. D'après les théories précédentes , on déterminera les constantes a, 6, R, relatives au cercle osculateur au point x\ y' d'une courbe donnée, au moyen des trois équations

dy' d^y'

-^ et -7~j étant tirés dé l'équation de la courbe donnée

La seconde de ces équations montre que le centre du cercle osculateur est situé sur la normale.

On tirera de là

__ dy' \ ^ dx'^j

dx'^ •^ "" £V dx d'y'

dx'^ dx^'

i6o COURS d'analyse.

et y substituant dans la première ,

Cette équation donne pour le rayon la valeur déjà trouvée par une autre voie ; et les deux précédentes font connaître les coordonnées a, S du centre de courbure, en fonction de x', y\

Si entre ces deux équations et celle de la courbe donnée on élimine x\y' ^ l'équation résultante entre a et 6 représentera le lieu des centres de courbure. Cette courbe s'appelle la déi^eloppée de la première.

Théorie des développées»

155. Les équations qui déterminent les coordonnées a , S du centre de courbure , ou du point de la déyeloppee correspondant au point [x\ j') de la courbe donnée, sont , d'après le numéro précédent ,

Ces équations ayant lieu quel que soit le point que l'on considère , si l'on donne à x' un accroissement infiniment petit, y', «> ê, qui sont des fonctions de a:', en recevront de correspondants, et les équations (i) et (2) seront encore satisfaites*, les accroissements de leurs premiers membres seront donc nuls, et, par suite, leurs dérivées par rapport à x'.

Or l'équation (i), différentiée en considérant a, 6, y' comme fonctions de x'^ et ayant égard à l'équation (2) ,

PREMlàRE PARTIE. iGl

donne

da dt âjr' d& i

^dP^'dPdP'^^' ®" rfâ""^^'

dx'

d OÙ il résulte que la normale à la courbe donnée est tangente à sa déi^eloppée , au centie de courbure.

156. On peut déduire de là une autre propriété trèsremarquable de la développée.

Soit O (fig- lo) le point de rencontre de deux normales infiniment voisines MN, M'N'; il est facile de démontrer que l'arc NN' de la développée est égal à la différence des deux rayons de courbure MN, M'N', aux quantités près du troisième ordre , tout au plus.

En effet, si du point O comme centre on décrit l!arc de cercle MK, la partie M'K est un infiniment petit du troisième ordre , puisque le cercle MK a pour limite le cercle osculateur. En négligeant cette quantité, on peut considérer M'N' comme égal à MO -H ON', et, par conséquent, M'N' — MN est égal à NO -h ON', aux quantités près du troisième ordre. Mais la différence entre un arc infiniment petit NN' et la somme des tangentes extrêmes NO -f- N'O est aussi du troisième ordre. Donc la différence des rayons de courbure MN, M'N' est égale à l'arc de la développée compris entre les deux points de contact infiniment voisins, plus une quantité infiniment petite, du troisième ordre au moins.

Mais on sait que la limite d'une somme d'infiniment petits n'est pas changée quand on néglige dans chacun d'eux une quantité infiniment petite par rapport à luimême. Donc , si Ton considère une infinité de rayons de courbure consécutifs, la somme de leurs différences, ou la différence du premier au dernier, est rigoureusement égale à l'arc de la développée, compris entre les points de contact des rayons extrêmes.

2® édit, 1 1

l62 COURS D^ANALYSS.

Il résulte de là que si Ton supposait un fil flexible inextensible et sans épaisseur, ayant une de ses extrémités en un point quelconque M de la courbe donnée , et que Ton tendit ce fil en l'enroulant sur la développée, à partir du point de contact N, il suffirait de développer ce fil y en le tenant tendu, pour décrire la première courbe avec son extrémité M, «

C'est cette propriété qui a fait donner le nom de dét^loppée d'une courbe au lieu géométrique de ses centres de courbure. Relativement à la développée, la courbe prend le nom de développante.

157. Le calcul peut conduire à la même propriété^ il suffit , pour cela , de parvenir à une équation qui ne renferme que ^R, da^ dS.

Or, si l'on diiférentie l'équation

(3) (x'~a)' + (jr'-6r = R%

on trouvera, en ayant égard à Téquation (i) ,

et si l'on remet pour x' — a sa valeur tirée de (i), il vient

, rf/' da

et, remplaçant -j-7 par — — »

Pour éliminer j^' — 6, on remarquera que les équations (i) et (3) donnent

R = (r'-e)y/.+|;, ou R = (^'6)y/, + ±;,