PREMIÈRE PARTIE

d'où

i^iloL^-hd^'

Reportant cette valeur de y^ — 6 dans Téquation cidessus, il vient, abstraction faite du signe du radical.

ce qui démontre que la différentielle du. rayon de courbure est égale à celle de Tare de la développée. D'où l'on tire les mêmes conséquences que précédemment.

Si l'on donnait l'équation F (a, 6) = o de la développée, et qu'on demandât celle de la développante, il faudrait éliminer a et 6 entre l'équation donnée et les deux suivantes :

dy dot. r ^\ doL

dans lesquelles ~ serait donné en fonction de a et S au

moyen de l'équation F (a, 6) =o. Il en résulterait une

dy équation entre x, y, ^^ et , au moyen du ealcûl intégral ,

on trouverait Féquatîon finie entre x et y.

Courbes enveloppes,

158. Nous avons vu que le centre de courbure est la limite du point de rencontre d'une normale fixe avec la normale infiniment voisine-, que, par conséquent, la développée est le lieu géométrique de ces points limites, considérés sur toutes les normales : nous avons vu de plus que la normale, dans toutes ses positions, est tangente au lîeu de ses intersections successives.

Généralisons ces conditions, en supposant une courbe

i64 COCAS d'analtss.

représentée par une équation quelconque

dans laquelle a est une constante.

Pour chaque valeur de a on aura yne courbe particulière , et si Ton conçoit que a varie d^une manière continue, on aura une suite continue de courbes infiniment voisines les unes des autres. Si Ton en considère une comme fixe, la courbe infiniment voisine la coupera en certains points qui tendront vers des limites déterminées à mesure que la courbe variable se rapprochera de la première; ces points limites, considérés sur toutes ces courbes, forment le lieu que nous allons nous proposer de déterminer.

Soit h une quantité infiniment petite ; l'équation

représentera une courbe infiniment voisine de celle dont l'équation est

Il faut donc chercher les valeurs de a: et y qui satisfont à ces deux équations , et les limites vers lesquelles elles tendent quand h tend vers zéro. L'équation de la courbe variable peut se mettre sous la forme

F(x, r, a) -h AF'(a -h 0A) = o.

Les coordonnées des points communs aux deux courbes satisferont aux deux équations

F(^> yy «) = o> F' (« -+- GA) = o.

Leurs limites seront donc les solutions communes aux deux suivantes :

F(j:, j, «)=:o et F'(fl)=:o, ou -- = o;