PREMIERE PARTIE

et si Ton veut le lieu des points qu'elles fournissent , il faut éliminer a entre ces deux équations.

La règle pour former l'équation du lieu de ces intersections successives consiste donc à éliminer la constante • entre V équation de la courbe variable et sa dérivée "par rapport à cette constante.

Il est nécessaire de remarquer que les raisonnements précédents supposent que la fonction F(j:, j^ a) n'ait qu^une seule valeur, pour un même système de valeurs de X, y y' a-, car, sans cela, il serait possible qu'on dût prendre deux des formes différentes de cette fonction dans les équations des deux courbes voisines. Dans ce cas, on ne pourrait supprimer F(x, y^ a) dans le second, et les valeurs limites de x, j seraient celles qui rendraient égales les deux valeurs de cette fonction.

159. Cette courbe jouit de la propriété remarquable d'être tangente à toutes les positions successives de la courbe variable.

En effet, si de l'équation — = o on lire a = y (x, y) ,

et qu'on substitue cette valeur dans ¥ [x^j^ a) = o, on aura , pour l'équation du lieu cherché ,

Soit l'équation d'une quelconque des courbes variables

(2) F(j:,/, fl) = Q.

Ces deux courbes (i) et (-i) ont généralement des points communs^ d'après la génération de la première^ or il est

facile de démontrer qu'en ces points la valeur de —• est la

même d'après les deux équations.

En effet, l'équation (i) différentiée donne

rfF clY dy dF (dtf dtf dy dx dy dx dt^ \dx dy dx

l66 COURS n^NALYSE.

df dY

Mais — ne diffère de — qu'en ce que ^[oc<^ j) y remplace

a, ei<f[x^y') e9t précisément la valeur de a qui rend nul

d¥ dF . ,

— \ donc — est identiquement nul, et il reste pour dé-

dy t y , terminer — ? d'après Féquation (i) ,

dY ^F<^ __ dx dy dx

Maintenant Féquation (2) differentiée donne

^ dY dy dx dy dx '

équation qui ne diffère de la précédente qu'en ce que a y remplace 9>(^, /). Mais pour le point commun aux deux courbes, on a a = (p(jc, j^), puisque cette équation n'est

autre que — = o : donc, en ce point , la valeur de -j- est la

même pour les courbes^ donc en£in la courbe variable est constamment tangente à la courbe fixe qui est le lieu de ses intersections successives, et c'est pour cela qu'on a donné à cette dernière le nom de courbe eny^eloppe.

Néanmoins il ne faut pas croire que la courbe enveloppe soit nécessairement tangente à toutes les courbes variables-, cela n'a lieu que pour celles qui sont coupées par les courbes infiniment voisines , et les raisonnements précédents ne s'appliquent qu'à celles-là. Qr il peut arriver que ce ne soit qu'entre certaines limites de la. constante que cette intersection ait lieu. 11 est donc plus exact de définir la courbe enveloppe par la propriété d'être le lieu des intersections successives des courbes variables, que par celle d'être tangente à ces courbes dans toutes leurs positions.