ElUpse. — L'équation a>j* -h b^x^ = a'A* donne

dy b^x d^y b*

dx ^^y dx^ a^y^

(ay^-^b'^x^y ^ = -^^^

Ovj en désignant toujours par N la longueur de la nor-

PKBMIÂBB PART». 169

maie, on a

donc

Les coordonnées du centre de courbure seront données par les équations

jr — 6 = ' — -7- , X — a = J 7-— •

Si , au moyen de Téquation de l'ellipse , on élimine x de la première , et j^ de la seconde , on trouve , en posant

^♦6 . a*oi

ou

et, substituant dans l'équation de l'ellipse , on a, pour Téquation de la développée ,

163» Hyperbole, — Soit maintenant

ay*— b'x^ =— a^b',

on aura

dy b^x d^y b*

dx a^x dx* fl*.r^

fl<6* «* b^

Les équations qui déterminent les coordonnées du centre

l^O COUEA DANALY&K.

de courbure seront

d'où, en posant a* 4- i' = c',

et l'équation de la développée sera

Elle se déduirait de celle de l'ellipse en y changeant 6' en — i ' .

164. Çycloïde. — L'équation différentielle de la cycloïde est

et, par suite,

Or la normale MN (fig- 1 1 ) est égale à s/iay. Donc R = aMN ; on aura doue le çe^re de courbure O , relatif au point M , en prenant NO = MN. Mais si au milieu I de la base on élève la perpendiculaire IB égale au diamètre 2,a du cercle générateur, et qu'on mène en B uixe parallèle BV à la Tîase, le cercle décrit sur la perpendiculaire NC comme diamètre passera par O : l'arc NO sera donc égal à l'arc MN du cercle NMD , et , par suite , à la ligne AN. Donc OC == NI = BC. Donc le point O appartient à la cycloïde décrite par un point d'un cercle ayant ia pour rayon, le point B pour origine, et BV pour base.

La développée de la cycloïde AEA' se compose dxHK de

PBEMIÈRE PART». I 7 I

deux demi-cycloïdes AB , A'B, identiques avec la première , et dont le prolongement se rapporterait aux branches suivantes de celle-ci.

16S. La différence de deux rayons de courbure étant égale à l'arc de la développée, compris çntre les deux points de contact , et le f aypn de courbure de AEA' étant nul au point A, la ligi^e IVIO est égal^ à Tare AO. Donc dans toute cycloïde AOB, l'arc compris eutre le sommet A et un point quelconque O est double de la corde NO du cercle générateur NOC qui passe en ce point.

Ainsi, en revenant à la cycloïde primitive, on aurait

ME = 2MD, et, par conséquent,

AE = 4« et AEA' = Sa.

Si Ton fait aa — y = j'? c'est-à-dire si Ton compte

lesj^' à partir de E, dans le sens El, et que l'on pose

EM = 5 , on aura

5* = Sajr''

Telle est l'équation de la cycloïde entre . l'ordonnée ei Tare', comptés à partir de son sommet.

Si l'on applique à cette équation la formule

dj;' R = 7-r—, 5

ds' on trouvera

R == 2.^ia(7.a — y') z=z 7.sl