ay
166. Pour trouver l'équation de la^ développée ,^ il faudra éliminer x ely entre l'équation de la cyçloï^
X z=z a arc cos ysâf/ —
172 cou as d'analyse.^
et les deux équations entre a , S , jr, y , qui se réduisent à
D'après le signe qui a été choisi pour le radical , le point M que Ton considère est dans la partie AE.
Ces valeurs x ely^ substituées dans Téquation de la cycloïde , donnent
a •■¥ ^ I s rr.
a = fl arc cos h v — aa 6 — 6'*.
Si Ton transporte l'origine au point B , en posant
a ^^ ol' -{^ Tta, 6 = 6' — 2^,
on obtient
et' = a arc cos Jza^' — 6'*.
Si donc on compte les a' positifs dans le sens BV au lieu de BV, on retrouve l'équation de la cycloïde primitive
^__ fi/
a' == a arc cos i/2tf 6' — 6'^
167. On peut déterminer Taire de la cycloïde en la considérant comme la somme des parties comprises entre les rayons de courbure consécutifs.
Soient QH , PK deux rayons in&niment voisins , S leur point de concours , et PR parallèle à AA'^ le rapport des
SF* triangles semblables SLF, SRP est ^— ? dont la limite est
sir
j\ de plus, QRP est infiniment petit par rapport à ces triangles, ainsi que Taire HSK. Donc la limite de la somme des aires LFPR, depuis A' jusqu'à A, est Taire comprise entre la cycloïde AEA' et sa base 5 et la limite de la somme des triangles SLF est Taire comprise entre
PREMIÈRK PARTIE. 1^3
A A' et les arcs AB, A'B : celte aire ajoutée à la première forme le rectangle construit sur A A' et na. D'ailleurs le rapport de LFPR à SLF a pour limite 3 , puisque le rapport de SPR à SFL a pour limite 4- Donc l'aire de la cycloïde AEA' est les trois quarts du rectangle qui a pour base 2Tra et pour hauteur 2a , et dontl^aire est, par conséquent, 4^a'.
L'aire de la cycloïde est donc 37ra', ou trois fois celle du cercle générateur.
168. Spirale logarithmique. — Son équation r = ae"*^ donne , comme on l'a vu ci-dessus ,
— = mae , -—- z=i m^ae ,
N = fltf *"* V^r+Tm» = MO , {fig, 1 2) S« = mae '"^ = AO. On trouvera ,. pour le rayon de courbure,
R = ûT^'"* V'i 4-/w% ou R = MO.
Le centre de courbure est donc à la rencontre de la normale avec la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur.
Si l'on pose
OAX = 9', AO = r',
l'équation polaire de la développée sera, diaprés ce qui précède ,
r' = mae
On peut lui donner la même forme qu'à la proposée, en comptant les angles à partir d'une droite faisant avec AX un angle a tel , que l'on ait
me '= i;
1^4 COURS D^TV/kLfSr..
ré<{uation précédente devient alors
La développée d'une spirale logarithmique est donc une spirale identique, et qui coïnciderait avec elle, si on la faisait tourner autour du pôle, d'une quantité angu-
laire a égaie a
169. La différence des deux rayons de courbure MO, M'O' étant égale à l'arc OCy de la développée , il s'ensuit que si le point M' tend indéfiniment vers le p6le, ainsi que O', Tare OO' se rapprochera indéfiniment d'être égal à MO.
Ainsi la longueur totale de Tare d'une spirale logarithmique compris entre un point quelconque O et le pôle asymptote, est égale à la tangente OM terminée a la perpendiculaire au rayon vecteur AO, menée par le pôle.
Tangentes et plans normaux aux courbes à double
courbure,
170. Une courbe dont tous les points ne sont pas dans un même plan est dite à double courbure. La tangente en un quelconque de ses points est la limite vers laquelle tend une sécante qui passe par ce point 6t par un autre appartenant aussi à la courbe , et qui se rapproche indéfiniment du premier.
On appelle longueur d'un arc la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone inscrit, lorsque ses côtés tendent tous vers zéro. Cette limite est indépendante du mode de division de l'arc , parce que les rapports des éléments correspondants de ces polygones , compris entre des plans parallèles infiniment voisins, ont pour limite Tunité.
PRBMlitAE PARTIE. 1*^5
On pourra donc encore prendre la corde au Heu de l'arc infiniment petit, et la différentielle ds de Tare d'une courbe à double courbure aura pour expression
les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires.
171. Une sécante passant par les points de la courbe ayant pour coordonnées
^1 r> «, et X-+- A.r , 7 -h Aj, z -h Az,
fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont
àx àjr Az A^ A5 As
en regardant As comme égal à sa corde. Leurs signes apprennent si la droite dirigée du premier point vers le second fait, avec les axes, des angles aigus ou obtus.
f/jf* flY dz
Les limites de ces expressions, ou — » ~-5 — t sont les
as GiS €mS
cosinus des angles que fait la tangente avec les axes.
172. Les équations de la sécante passant par le point x'^y\ z^ de la courbe, et un autre point infiniment voisin, sont
donc les équations de la tangente seront, en prenant ces rapports diflFérentiels à leurs limites ,
Si la courbe est déterminée par les équations de ses
dx^ dy* projections sur les plans XZ , YZ , on tirera -j-y et -^ de
chacune d'elles.
176 couBS d'aicaltss.
Si elle est donnée par deux équations à trois variables
on en déduira
et il faudra tirer de ces deux équations les valeurs de
dx' dr^
j-j-f -~7 y pour les reporter dans les précédentes, ou éliminer de toute autre manière -— > ^, > entre les quatre
équations \ on obtient ainsi , pour les équations de la tangente,
Nous verrons plus tard que ces équations ne sont autre cbose que celles des plans tangents aux surfaces représentées par les deux équations données , et dont la courbe donnée est Tintersection.
173. On appelle plan normal celui qui est perpendiculaire à la tangente, au point de contact. Son équation sera , d'après celles que nous avons données d'abord pour la tangente,
ou
{x — x') dx' -h {y '-x')dy' -h {z •^z')dz' = o.
174. On pourrait parvenir à cette même équation en cherchant le lieu des droites menées par le point x\ y\ z\ perpendiculairement à la tangente. Soient, en effet, x^y^ z
P&RIHIÈIIK PARTIE . I ^ n
les coordonnées d^un point quelconque d'une de ces droites , les cosinus des angles qu'elfe fait avec les axes sont proportionnels aux quantités x — x'^j — j'^ z — z'-^ ceux qui se rapportent à la tangente sont proportionnels à £ir', dy*^ dz* i or, pour que ces deux directions soient perpendiculaires, il faut que le cosinus de leur angle soit nul; d'où résulte, pour tous les points du lieu,
[x - x')dx' -+- {y—y')dy' 4- (z — z')dz' = o.
175. On peut encore obtenir l'équation du plan normal en le considérant comme la limite du plan qui renferme les points communs à deux sphères égales ayant leurs centres en deux points de la courbe, infiniment voisins.
Soient x'^ y\ z' les coordonnées du premier point, X* -h Lx\ y' -h ^y\ z' -f-^^z' celles du second, et R le rayon des sphères -, l'équation de la première est
{x - ir')* 4- [y—y'Y -+- (2 - z')' = R'; celle de la seconde est
Elles ont lieu en même temps pour les points communs , et si on les soustrait l'une de l'autre, on trouve, en négligeant les infiniment petits du second ordre et substituant les différentielles aux différences ,
(jc -, x' ) e/x' -f- ( j — /' )rf/' 4- (2 — z') rfî' = o.
Cette équation étant du premier degré est celle du plan qui contient le cercle d'intersection des sphères , pris à sa limite, ou du plan normal.
Toute ligne située dans le plan normal est dite normale à la courbe.
Tout plan passant par la tangente est nomoképlan tangent à la courbe.
2* édit. 1 2
in8 COURS i/anaï.ysk.
Plans tangents, plans normaux, et normales aux
surfaces courbes.
176. Plan tangent, — Une taDgente à une surface est la limite vers laquelle tend une sécante menée par un point de cette surface, lorsqu'un second point d'intersection tend vers le premier.
Ce second point pouvant tendre d'une infinité de manières vers le premier, il y a une infinité de tangentes à la surface en ce point. Nous allons démontrer que le lieu de toutes ces tangentes est un plan , et nous lui donnerons le nom de plan tangent.
Pour déterminer, en général , le lieu de ces tangentes ,
soit
F(jr, /, 3) = o, ou z=/{x,jr)
Téquation de la surface.
Les équations d'une tangente quelconque au point .r',j^', z^ seront
dx' dy' les quantités -^-7? -j-f sont indéterminées, mais liées entre
elles par l'équation
dx' df
dans laquelle p et q représentent les dérivées partielles
(^7 ' (^') ' ^^^^^^ ^^ Téquation z =f(x,y).
dx' dr' Si l'on élimine -7-7 5 -T-7 entre les trois équations précédentes, on aura l'équation du lieu de toutes les tan-
PRKMIKRK
