PREMIÈRE PARTIS

si Â est un coefficient constant ,

dy :=^ vw, , .du ~\- uw ... dv -\- u,v, , , dw -{-.,.,

, du dv dw .

rfr = tfpw. . . ( 1 1 h... )••••

Soit encore j^ = -> d'où vj = u. En prenant les difFéren-

tielles des deux membres , on aura

ydn> H- i>dy ■=. du, d'où

du rdv du udv

df = 'L-= -.;

ce que l'on peut écrire ainsi :

vdu — udp

dy =

Comment la différentiation de toute fonction explicite se ramène à celle des fonctions simples,

32. Considérons maintenant une fonction explicite quelconque de x : elle indique une suite d'opérations à effectuer, dès que l'on aura choisi arbitrairement une valeur numérique pour x. Celle de ces opérations qui doit se faire la dernière, et dont le résultat est la valeur de la fonction, porte soit sur une seule, soit sur deux quantités variables avec X] dans ce dernier cas la différentielle de cette fonction se ramène , par le théorème des fonctions composées, au cas où une seule des deux quantités serait variable, et alors -on n'a plus à considérer qu'une fonction simple. Si donc on savait trouver les différentielles de toutes les fonctions simples , on saurait trouver celle de la fonction proposée, au moyen des différentielles des quan-

36 GOURS d'analysk.

lités sur lesquelles doit s'exécuter la dernière opération . La question est donc ramenée à déterminer ces différentielles, qui sont celles de fonctions moins compliquées que la proposée, et qui se ramèneront semhlablement à d'autres fonctions encore moins compliquées , jusqu'à ce que l'on parvienne à des fonctions simples.

Tout se réduit donc à la différentiation de ce^ dernières , et c'est de quoi nous allons nous occuper présentement.

Différentiation des fonctions simples.

33. Différentielle de log x, — Soit j^ = log x ; ce logarithme étant pris dans une base quelconque a, on aura

A/ = log (a* -f-Ax) — log:ir = log( I H j,

et , par suite ,

Posons — == a , et substituons dans le second membre, il vient

Aa' eue X ^

Or on sait que (i -f- a)" tend vers la base e du système de Néper, lorsque a tend vers zéro (voir la note I à la fin).

Donc la limite de — est — ^«

Ao: X

On peut donc écrire

-f = -^? ou dy =z -2 ^r.

dx X X

PREMIERE PART». 3j

Si Ton observe que log e = — , 1 désignant les logarithmes népériens , on pourra écrire

dx dy I

x\a dx X 1 a '

i « = e , on dMVdij = 1 x,

dx dy i

X dx X

' Dans le cas oùa = lo, le module loge a pour valeur

log e = 0,434^94^*

34. Différentielle de a"". — Soit maintenant la fonction inverse j" = a'. D'après la règle donnée en général pour les fonctions inverses, et dont on pourrait refaire la démonstration sur chaque cas particulier, on aura

dv y a'

dx logtf loge

et, par suite,

dy = a'iadx.

On pourrait aussi trouver directement la différentielle de a', et en déduire celle de la fonction inverse log x. En effet, si l'on a jr = a*, on aura

ày a — 1

— rrr^ï' •

Ax Ax

Tout se réduit donc à trouver la limite de , ou ^

Ax ^

rt*— I

pour plus de commodité, de > a tendant vers zéro.

Posons

«"— I = 6, d'où a^=: I -f- 6,

et , par suite ,

ala = l(i + 6);

d'où il résulte

Or S tendant ver» zéro , (i 4- 6)^ a pour limite e; donc

lim I«,

et , par conséquent ,

-y- = a'ia, et djr=z a'iadjc.

3S. Différentielle de x"\ — Soit j = x'""] on aura , en prenant les logarithmes des deux memln^es dans la base e j

\ y := mlx'y

prenant maintenant les difierentielles des deux membres ,

il vient

dj dx , my

— = w — j do» dy =. — ^ dx* y X X

Remplaçante^ par a;'", on aura , quel que soit w,

. dy

dy = mx^—^dxy —• = wjc'"'*.

Sij^^et X n'étaient pas positifs, les logarithmes seraient imaginaires; on évitera cette difficulté en élevant au carré les deux membres de l'équation j^ = a:'", ce qui

donne

et , prenant les logarithmes ,