PARTIE

génies.

On

trouve ainsi

ou

ou

— z'==/?(.r — jr')H- 7(j — j').

T-î et -7—, désignant les dérivées partielles de la fonction

ax dy' ^ ^

de x et j^ qui expi'ime la valeur de z. Cette équation étant du premier degré par rapport à x, j^, 2 , il s'ensuit que le lieu des tangentes est un plan.

L'équation du plan tangent prend une autre form^ quand l'équation de la surface est de la forme

€t non résolue par rapport à z .

Un déterminera -y—, et —, par les équations

d^ dF dz^ dF^ dF dz'

dx' '^ dPd^'^^' liP"^ dP liP '^ ^^

et Péquation du plan tangent sera

177. Normale, • — La normale est la perpendiculaire au plan tangent, menée au point de contact; ses équations seront donc

i8o COURS uVnaltsk.

ou

178. Plan normal, — Si, au point de contact d'une tangente à une surface, on mène un plan perpendulairc à cette ligne, on aura un plan normal à la surface. On trouvera son équation, soit en partant dos équations d*une tangente, soit par Tintersection de deux sphères égales dont les centres se rapprochent indéfiniment. De cette manière on aura pour Téquation d'un plan normal quelconque au point x'^y'^ z\

(jT — a:' ) fix' H- ( j — x') dy' -+- (z — z' ) dz* = o.

Elle est indéterminée parce que les différentielles dx\ dy\ dz' ne sont assujettis qu'à la condition

dz' = pdx' 4- qdy' = ^, €lx' + ^, dr-, si l'on substitue cette valeur de dz\ on obtient

-+- dy' j^^ - ^' H- ^, (z - z' )J = o.

Cette équation changera avec le rapport que Ton établira entre aÎo:', dy* ^ et représentera tous les plans normaux au point donné.

179. De cette équation du plan normal, on peut déduire celle de la normale, et, par suite, du plan tangente En effet , on voit qu'elle est satisfaite , quel que soit le rapport de df à dx\ si l'on pose les deux équations