PREMIÈRE PARTIE. l8l

Doîic tous les plans normaux se coupent suivant une même droite, représentée par ces deux équations. Celte droite étant perpendiculaire à toutes les tangentes, ces dernières sont toutes dans un même plan, ayant pour équation

dz^ dz*

On trouve ainsi, indépendamment de la première méthode, les équations du plan tangent et de la normale.

180. Plan osculateur, — On appelle ainsi la limite vers laquelle tend le plan qui passe par trois points d'une courbe, qui tendent indéfiniment à se réduire à un seul. Soient a:', j', z' les coordonnées d'un point quelconque de la courbe, x' -h^^\ ^ ■+- A^'? 2' -h ^^' celles d'un point infiniment voisin, et x^ -f- ^^x' -+- ù}x\ y' -h iC^y^ -h A'j^', z' -t- aAz' -h ù?z' celles d'un troisième point de la courbe , les dijOTérentiellt^s étant déterminées d'après les accroissements égaux d'une variable quelconque, dont x[^ y\ z' sont des fonctions déterminées.

Tout plan qui passe par le premier point a pour équation

pour qu'il passe par les deux autres , on aura les tîonditions

Az' — a^' -h ^Aj',

A^z'=: «A'jc'-h 6A^j'j

et pour le plan limite ces équations auront lieu entre les diflerentielles

dx\ dj'% dz'y d'x'y d-y\ d^z'.

Les valeurs de « et è tirées de ces deux équations, et

r8a COORS U^A^SALlSEf

reportées dans celle du plan , donnent l'équation du plan osculateur, qui est

+ (z «') [dx'd^y' — dy'd-'x')^ o.

1 81 . Si l'on cherchait la limite des plans passant par la tangente en un point d'une courbe , et j)ar un autre de se» points tendant vers le premier, îl es! facile de voir qu'on retrouverait le plan osculateur.

En efii^t , les écpiations de la tangente sont

dx' dr'

ar — x' = — (3 — z'), X "-^' = ^ (* — *')>

et le plan dont l'équation est ^

z-^z' =za{x'-x')-Jfb{y ^ y') contiendra cette tangente , si l'on a

dx^ dy'

I = a -— r -h b -f^ -) ou dz' =: adx' + bdy'y dz dz'

oa, prenant t pour variable indépendante,

€lz' dx' , dy'

dt dt dt

Pour que ce même plan passe par un point ayant pour coordonnées x' ■+■ Ax', j' -h Aj^', z' H- A-z', il faudra que l'on ait

Mais on ne pourra, dans cette équation^ négliger les termes du second ordre , parce que tous -ceux du premier disparaissent , en vertu de l'équation précédente.

En eflet , si l'on développe les différences , et qu'on se