PREMIÈRE PARTIE. l

borne au second ordre, on aura

. dz' dH' M^ ^ dy' d-'Y'àf

de dt' 2 -^ dt dt' 2

dj:' d'x'At^

Xx = -—- A/ -f. — H

dt dt^ 2

Subsliluant dans Téqualion ci-dessus, les termes qui

lenferment At au premier degré disparaissent , et il reste ,

en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, ei

divisant par — »

dt^ dp dt' -^

Les coefBcients a et i sont donc déterminés par les mêmes équations que précédemment, et Ton trouve l'équation du plan osculateur.

On trouverait encore le même plan en cherchant la limite de celui qui passerait par une tangente et une parallèle à la tangente infiniment voisine.

182. Angle de contitigence, — On appelle ainsi Tangle de deux tangentes infiniment voisines, ou , pour parler rigoureusement, la diflérentielle qui correspond à cet angle infiniment petit; c'est-à-dire une quantité dont le rapport à l'accroissement de la variable indépendante soit égal à la limite du rapport de l'angle des tangentes à ce même accroissement. Ces tangentes n'étant pas d^ns un même plan , leur angle est celui de deux droites qui passeraient par un même point et leur seraient parallèles. Soient rt , i , c les cosinus des angles formés avec les axes par la première tangente, et a + Aa, b -h Aft, c -j- Ac ceux qui se rapportent à la seconde -, le cosinus de Tarigle o) de ces deux directions sera

cos vi=zd--{- b--\- €■-+- fila -fc bàh 4 (àc =z i -f- aàa 4- blS -h cAc.

COURS 1>*ANALTSE.

De Téquation

rt« 4 ^^ |. c' =: I

on tire

OiOSa -h ubAb -f- 2tfAc H- Aa^ -f- Aô' 4- Ac^ = o;

donc

(k) A/ï * -h A^^ 4- At- ' I — cos» = 2 sin'' - = •

Si l'on remplace sinoi) par o»), et les diiTérenees par les différentielles, ci) sera ce que nous avons appelé Tangle de contingence , et Ton aura

«» = da » 4- db^ -f- rfc% ou &> = y^e/a* H- éifi!^^ -f- dcK

On pourrait encore établir cette formule par des considérations géométriques.

Menant MB (fig* i3) parallèle à la seconde tangente^ et prenant MA = MB = i , on a