AB

Projetant le polygone MAB sur les trois axes , et appelant A, /x, V les angles de la direction AB avec les directions positives de ces axes ^ on pourra écrire

da =: b) C'OS "ky db z=z on cos pi , de "=. tii cos v ,.

«= ^da^-^db^-^dc^ , cos> =

^déi^-hdb^-hdc^

db de

eos fx = ' ) arc :=

>J da^ -h db^ -h dc^ ^ da^ -^ db^-^dc^

Cela fait connaître Fangle de contingence et les cosinus des angles de la direction prise du point M vers le centre de courbure.

Or on a

djc , df dz

ds ds ds

PREMIÈRE PABTfV. l85

d'où Ton tire

(IsePx — dxd-s ,, dsd^y — dyd^s da = ~ , db= ^^/ ,

dsd^z — dzd^s

de =r

ds'

substituant ces valeurs dans celle de w, et observant qu'on a

ds' = dx^ -h djr^ -f. dz\

dsd^s = dxd^x -h dyd'^y -^ dzd^z,

on obtiendra

On peut faire disparaître d^s de cette expression , en tirant sa valeur de l'équation précédente : on trouve ainsi , toute réduction faite ,

w = ^ ^ (drd* z — dgd V )' 4- (dzd *x^dxd^ zf -t- {dxd^y — dyd*x)\

183. Si, au lieu de chercher Tangle de deux tangentes en des points M, M' infiniment voisins {fig. i4)> o^^ cherchait Fangle de la corde MM' avec la corde M' M'', en supposant les deux points M' M'' correspondants aux accroissements égaux d'une variable quelconque- f, on trouverait la même expression pour l'angle TM'M". En effet 9 les cosinus des angles de MT avec les axes ^amit les

rapports jjjjj7, :^^, j^^, «tdiflfèrenl de quantités infini-

1 T !• • • ^-^ dy dz -.

ment petites, de leurs limites respectives — ? —-? — • Le

changement de f en ^ -f- rff donnera donc les mêmes accroissements dans les uns et les autres , en négligeant les quantités d'un ordre supérieur à celui des accroissements. Il (*st donc inutile de recommencer ici 1rs calculs précé-

i86 COURS d'analyse.

dents ^ et la valeur de TM'M" aura la même expression que celle de l'angle de contingence w.

184. Cercle osculateur, — Dans les courbes à double courbure, comme dans les courbes planes, nous appellerons cercle osculateur la limite du cercle qui passe par trois points infiniment voisins; ce cercle limite se trouvera évidemment dans le plan osculateur.

Soient M {fig*, i5) un point quelconque de la courbe ; M', M" des points qui s'en approchent indéfiniment; O le point de rencontre des perpendiculaires menées par M, M^' à ces deux cordes, dans le plan qui les contient : M'O sera le diamètre du cercle passant par M, M', M", L'angle O a pour mesure l'arc de cercle MM'M'' divisé par le diamètre M'O. Or on peut substituer à cet arc celui de la courbe, ou aû^ 4- A*5.

On aura donc M'O =,-77- en négligeant A'^.

Mais l'angle O est égal à TM'M" qui peut être remplacé par l'angle de contingence o) relatif à l'arc âis. On aura ainsi , en désignant par R le rayon du cercle osculateur,

R = — ; d'où , en remettant pour co l'une ou l'autre des

deux expressions données précédemment , on lire les formules rigoureusement exactes

V^ («^ rf* z — dsd^jr^-^- {dzd^x — dxd*zy -i- {dtd^j — dyd^xy

185. Angle de torsion. — On appelle ainsi Tangle de deux plans osculateurs consécutifs, ou , pour parler plus «exactement, la différentielle correspondante.

Soient a, S, y les angles que fait avec les axes la nor-

FaRMlKRË PARTIK. iS*]

maie à un plan osculateur-, on aura, d'après I équation de ce plan, a:, y^ z étant les coordonnées du point de la courbe ,

lird^ z -- dz(I^r . dzd-jc — dxd ' z COSa= :^i COs6=: 9

dxd^ y — dyd'^x COS7 == ^ 1

en posant

La normale au plan osculateur infiniment voisin fera avec la précédente un angle égal à celui des deux plans , si on le désigne par U, on aura , par un calcul semblable à celui qui a donné l'angle de contingence,

U = >/ (d.cos(x.)^-h (^.cos6)*H- (r/.coS7) ^

Telle est l'expression de l'angle dont le plan de deux côtés voisins du polygone infinitésimal tourne autour du second pour venir passer par le troisième. Mais il faut l'obtenir en fonction des différentielles de x^ y, z-^ pour cela ^ posant

djrd'^z — dzd^y =\, dzd^x — dxd^z=zY^

dxd^y — dyd"^ jc := Z , d'où

dfd^z — dzd^y = rfX, dzd'^x — dxd^z = rfY,

dxd^y — dyd^x = dZ, on trouvera

^{YdZ - Zd Y )* -^- (ZrfX - XdZy'-^- ( XrfY - Ydxy - X'-+-Y'-i-Z«

i88 COURS d'analyse.

Mais on a

YdZ — LdY Zr/X — Xr/2 Xr/Y — Y^X

dx ily dz

= dx(dyd^z — d^zd^x) -f- dx(d^zd^x — d^xdH)

dz{d^xd^X — d^d^x).

Donc

.^ . rfx(<iVa'g-<<«^<iV).4-4r(a » gd»jwd«x<l'g)-i-<ig(<l'xaV-dVrf'jf)

Il n'y a pas lieu de représenter celle seconde courbure par celle d'un cercle qui se présenlerait aussi nalurellemenl que le cercle osculaleur qui mesure la première.

186. Si le rayon de la première courbure esl infini pour lous les points d'une ligne , tous les côtés du polygone infinitésimal inscrit dans cette ligne sont dans le prolongement les uns des autres, et, par conséquent, cette ligne est droite. La condition pour qu'une ligne soit droite pourrait donc s'exprimer par l'équation différentielle

{dfd'z —dzd'^yY -^[dzd^ X —dxd^Y-^- (dlrr/'j— r(yflf»x)»= o,

d'où l'on lire les trois équations

dyd ' z — dzd'^y = o , dzd"^ x — dxd ' z = c , tlxd ^y — djrd ' a; = o >

ou encore

, dz , dx dy

d,--- =z o, d.-r-=zO. (i,--z=0', dy dz dx

d'où Ton conclut

dx dy

dz ^ dz

a et b étant des constantes arbitraires. Et comme a et b sont les dérivées de az et bz ^ il suit d'une proposition démontrée précédemment, que les fonctions x et jr ne

PREMIÈRE PARTIR. | ^g

peuvent être que de la forme

jc = flz -f- a, ^' = ^3 -h 6,

a et S désignant des constantes arbitraires. On retombe ainsi sur les équations générales de la ligoe droite.

Si la seconde courbure est nulle, tous les plans osculateurs se confondront, et la courbe sera plane. La condition pour qu'une courbe soit plane est donc exprimée par l'équation différentielle

dx{d^yd*z -— d^zd^x)-^ dy{dHd*x — d^xd^z) dz[d^xd^X — d'^yd^x) = o,

équation qui se réduit à

d^ycPz — d^zd^jr =z o,

si Ton prend x pour variable indépendante.

On vérifie bien facilement que cette relation existe pour tous les points d'une ligne située tout entière dans un plan.

187. Surface polaire. — Si l'on conçoit un polygone infinitésimal inscrit dans une courbe à double courbure, et quW élève des plans perpendiculaires au milieu de ses côtés successifs, la ligne d'intersection de deux de ces plans consécutifs sera le lieu des pôles du cercle passant par les trois sommets correspondants du polygone; et sa limite sera le lieu des pôles du cercle osculateur vers lequel tend le cercle variable.

Il est facile de reconnaître d'ailleurs que l'on trouverait la même ligne en cherchant la limite de l'intersection de deux plans normaux consécutifs.

Si Ton agit de la même manière en tous les points de la courbe donnée, on obtiendra une suite de lignes polaires qui formeront une surface qu'on nomme surface polaire. EUe-n'est autre chose que le lieu des centres des sphères

igo COURS d'analysf.

limites de celles qui ont trois points infiniment voisins, communs avec la courbe. Cette surface est développable , car elle se compose d'éléments plans indéfinis compris entre les deux intersections successives de trois plans consécutifs. De plus, ces éléments plans ont pour limite de leurs directions , celles des plans tangents : donc tous les plans normaux à la courbe sont tangents à sa surface polaire , et cette dernière peut être considérée comme la surface enveloppe de ces plans.

188. Sphère osculaince. — On désigne sous ce nom la limite des sphères qui ont avec la courbe quatre points communs qui se rapprochent indéfiniment. Le centre de la sphère passant par quatre sommets consécutifs du polygone inscrit, esta la rencontre des deux droites suivant lesquelles se coupent les trois plans perpendiculaire aux trois côtés consécutifs du polygone; c'est le point commun à deux droites polaires consécutives.

Les centres de ces sphères successives déterminent un polygone qui tend vers une courbe dont les droites polaires sont les tangentes ; cette courbe est donc Tenveloppe des polaires. Elle est aussi Tarète de rebroussement de la surface développable , lieu de ces polaires, c'est-à-dire de la surface polaire.

189. Équation de la surface polaire, — Cette surface est le lieu des intersections successives des plans normaux , ou encore des normales à la courbe donnée. Or l'équation d'un plan normal quelconque est

Si Ton donne à la variable indépendante f , dont on regarde x\y\ z' comme des fonctions connues , un accroissement infiniment petit Af , et que Ton considère le plan normal au point voisin qui en résulte, son équation se composera des mêmes termes que la précédente, plus les

PREMIÈRK PARTIK. iqi

termes résultant du changement des quantités x' ^ j'^ z\ dx\ dj\ dz'. Les premiers termes s'annulent pour les .points communs aux deux plans , et il reste , en négligeant ceux du troisième ordre et passant aux différentielles,

Les équations ( 1 ) et (2) ont donc lieu entre les coordonnées x^j^ z de tous les points d'une des génératrices de la surface polaire.

Donc on aura l'équation de la surface polaire, en éliminant x', y'^ z' entre les équations ( 1 ) , (2) et celles de la courbe donnée.

190. Centre de la sphère osculatrice. — Ce ceijtre est la limite du. point de rencontre de trois plans normaux consécutifs, ou de deux droites suivant lesquelles se coupent les deux premiers et les deux derniers de ces plans. L'une est représentée à la limite par les deux équations ( I ) , (2) -, l'autre par ces équations augmentées de leurs différentielles. Pour la limite du point commun aux deux droites, les différentielles des équations (i), (2) par rapport à x^y'^ 2', dx\,»,^ seront donc nulles, et il en résultera cette nouvelle équation

(3) {x--x)d'jc'-^[y—y')d^y'-h[z — z')d'z'-^Zds'd''s' — o,

Les équations ( 1 ) , ( 2) , ( 3) donnent le centre de la sphère osculatrice correspondante au point (a:', j^', z') \ et l'on aura les- équations du lieu de ces centres, ou de l'arête de rebroussement de la surface polaire, en éliminant x',^', z ' entre ces trois équations et celles de la courbe donnée; d'où il résulte deux équations entre x, y^ z.

191. Il est facile de reconnaître, au moyen des équa-tions (i), (2);, que tout plan normal à la courbe est tangent à la surface polaire. En effet, considérons sur cette dernière un point quelconque infiniment voisin de

1^1 COURS u\nalysk.

celui qui a pour coordoiniécs j:, j", z et qui se trouve dans le plan normal déterminé par Féqualion (i). Soient considérés dx, dj^ dz comme les différences de leurs coor-. données: les équations (i), (2) sont satisfaites par les coordonnées du premier point ; et elles le seront par celles du deuxième, si Ton considère le plan normal infiniment voisin qui passe par ce deuxième point.

Or, si Ton donne à x^j^ z-^ x\ y\ z* les accroissements correspondants dx^ dj^ dz] dx' ^ dj'^ dz' dans Téquation (i), il restera, en vertu de Téquation (li),

dxdx' -f- tlydy' -+- dzdz^ = o.

Mais la droite qui joint les deux points pris sur la surface polaire, et finit par lui être tangente, fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx^ djr^ dz ; Féquation précédente prouve donc que cette droite est perpendiculaire à la tangente à la courbe au point (x\ j', ^'), et que, par conséquent, elle est située dans le plan normal, au même point de cette courbe, puisqu'elle a déjà le point (x, y^ z) commun avec ce plan.

192. Centre de courbure, — Le centre du cercle osculatéur, ou le centre de la première courbure, se trouve dans le plan osculateur, et sur la droite polaire du point que Ton considère sur la courbe. On aura donc ses coordonnées eh cherchant les valeurs de x^ y^ z qui satisfont aux équations

[X--X*)dx' ^{y-.y')dy' ^(^z-^z')dz' =0,

{x-^x') d'x' 4- {y —y') d'y' -4- (z — 2') rf'z' = ds'\

(x-'X'){dy'd^z'^dzUny')~{-{y^y'){dz'd'x'-'dx'dH') -f- (z — z') [dx'd-'y' — dy'd'x') = o.

Ces valeurs de x, j , z sont données par les formules sui-