PREMIÈRE PARTIE. I g

vantes :

' ds

r^W{^x'd'z'—dz'dy)---dx'{dz'd^jo'---dx'dH')],

X—X'=^-rTX'^'^'^'^^'^'r' — dx'd'x')^dz'{dY'dH'—dz'd'y';\,

a:---- œ' z= J^^[dz' {dz'dW --- dx'd' z' )--- dy' {dx'd'y' -- dy^d'^x')], R désignant le rayon de courbure, dont la valeur est

yj{dr 'd ^t'*—dz'd^r'Y-\-{dz'd^x'—dx'd*B'Y-^{dx'd^y'—dy'd^x'y

Si, au lieu de déterminer les coordonnées du centre de courbure, on voulait les équations du lieu.de ces centres, il suffirait d'éliminer a:', y', z' entre les trois premières équations et celles de la courbe donnée*, les deux équations résultantes entre a:, j, z seraient celles du lieu demandé.

193. Contact de^ courbes à double courbure, — Cette théorie est semblable à celle que nous avons donnée pour les courbes planes; seulement, au lieu de couper les courbes parles droites parallèles à un axe, il faudra les couper par des plans parallèles à l'un des plans cooj> donnés, par exemple au plan x, y. ATnsî, lorsque deux courbes auront un point commun x\ y' ^ z\ et qu'en les coupant par un plan parallèle au plan x^j et situé à une distance infiniment petite dz' du point commun, la distance des deux points ainsi obtenus sur ces courbes sera infiniment petite, de l'ordre n H- i , on dira que les courbes ont un contact de l'ordre n. On reconnaît facilement que Tordre de cette distance infiniment petite est le même pour des plans coordonnés quelconques, pourvu que les tangentes à ces courbes au point commun ne soient pas parallèles au plan sécant. La projection d'une ^y édit. i3

IQ^ COUBS U* ANALYSE.

droite sur un plan étant égale au produit de cette droite par le cosinus de son inclinaison sur ce plan , le rapport des longueurs de la droite et de sa projection a une limite finie, si la limite de cette droite ne fait pas un angle droit avec le plan. Domc les trois projections orthogonales d'une droite variable de grandeur et de direction sont , en général, des grandeurs du même ordre que cette droite; et il en est toujours ainsi pour deux de ses projections au moins : il ne peut y avoir qu'une d'entre elles , au plus , qui soit infiniment petite par rapport à cette droite. D'où il suit que, pour que deux courbes à double courbure aient un contact de Tordre n , il est nécessaire et suffisant que deux de leurs projections aient un contact de cet ordre; ce qui ramène à la théorie du contact des courbes planes. Ainsi les conditions pour que ce contact ait lieu au point dont les coordonnées sont oc* ^y'^ z', consistent en ce que pour la valeur z' A.e Zy les quantités

dx dy d^x d^y d^x d^y

aient les mêmes valeurs d'après les équations de ces deux courbes. On obtiendra donc encore la courbe osculatrice d'une espèce donnée, en déterminant les coefficients de ses équations de manière qu'il en résulte le plus de dérivées communes avec la courbe donnée , à partir des premières. Si les projections sur un plan avaient un contact plus élevé que les projections sur un autre , il suit de ce qui précède que le moins élevé des deux exprimerait l'ordre du contact des deux courbes proposées.

194. Droite osculatrice. ' — Les équations générales d'une droite étant

x = r2z-Ha, y =1 bz -^ ^ ,

les équations qui détermineront a, a, 6, S seront / , , , , ^ d^' ^W »

phkmière pautie. • ig5

les dérivées ^ ? -^ étant tirées des équations de* la

courbe donnée. La droite osculatrice a donc pour équa-tions

dx' . dv'

ce sont celles que nous avons déjà trouvées pour la tan gente.

495. Cercle oscillateur. — Les équations les plus commodes pour la détermination d'un cercle dans l'espace sont celles d'une sphère et d'un plan. Soient donc les ^ équations générales du cercle

(0 (z - y )^ 4- (^ 6)^ -+- (:c - olY = R%

différentiant deux fois ces équations , en considérant x ex y comme fonctions de z , et les autres quantités comme constantes , on aura les équations suivantes :

,,, df' «te' , ^,d*Y , ' ,d'x

dx , dy (5) - i ^a—'h à-f=: o,

dz dz

On remettra dans ces six équations , au lieu de x, j^, 2, les coordonnées du point donné <le la courbe, et l'on remplacera toutes les dérivées par celles que donneront les équations de cette même courbe. On en déduira les valeurs de six des constantes a, i, c, ât, 6, y, R, et il en restera une indéterminée , parce qu'on peut faire passer une infinité de sphères par un même cercle.

jq6 * COURS d'analyse.

Les coefficients fl, b , c sont enlièrement déterminés, et l'équation du plan devient, en désignant par x' , j ', «' les coordonnées du point donné,

(z — «') [dx'd^x' — dy'd'x') — dz'd^y' [x — x') -^dz'd^x' (^— j') = o.

Cette équation n'est autre chose que celle du plan osculateur, dans laquelle z est pris pour variable indépendante. Les équations (3), (4), dans lesquelles on regardera ol^ è^y comme variables, représentent deux plans qui sont perpendiculaires au plan (2), en vertu des équations (5), (6). Les centres des sphères sont donc sur une perpendiculaire au plan du cercle , et elles couperont toutes ce plan suivant un même cercle, puisqu'elles passeront d'ailleurs par un même point [x' ^ y\ z').

Il est facile de rebonnaitre dans les équations (3), (4) celles qui déterminent la droite polaire relative au point (x', y\ z') quand on prend z pour variable indépendante •, et comme le centre du cercle s'obtiendra en cKcrchant l'intersection de cette droite avec le plan du cercle, on retrouve , d'après ce nouveau point de vue , tout ce qui avait été déterminé relativement au cercle osculateur, par des considérations différentes.

Contact des surfaces.

196. Lorsque deux surfaces ont un point commun (x', y ^ z'), et qu'en faisant varier x\y de quantités infiniment petites quelconques, rfj?', dy^ la différence des valeurs de z correspondantes est un infiniment petit de Tordre /i -f- 1 5 on dit que ces surfaces ont un contact de l'ordre n. L'ordre de cette différence est le même pour toutes les directions qui ne sont pas parallèles aux plans tangents à ces surfaces , au point que Ton considère : il