CALCUL INTÉGRAL

206. Toute opération nouvelle donne naissance à l'opération inverse , dans laquelle ou prend pour donnée le résultat de la première , et pour inconnue Tune de ses .données. La différentiation, ou l'opération par laquelle on . détermine, soit la différentielle, soit la dérivée d'une fonction , conduit donc naturellement à la recherche de la

fonction dont on connaît la différentielle ou la dérivée. Cette dernière opération se nomme intégration.

Il est d'abord nécessaire de démontrer que cette question admet toujours une solution.

Soit F (.r ) dx la différentielle proposée ; il s'agit de faire voir que, quelle que soit la fonction F (j^) , il en existe toujours une autre qui donne pour dérivée F (x) , oii pour différentielle Y[x)dx. C'est ce que l'on peut établir d'une manière très-simple, par des considérations géométriques.

En effet, si l'on conçoit la courbe dont l'équation serait

Taire comprise entre une ordonnée fixe et une autre ordonnée variable correspondante à l'abscisse x^est une fonction de x^ exprimable ou non au moyen des fonctions élémentaires auxquelles on a donné des noms particuliers. Or on a démontré, dans le calcul différentiel, que la dérivée de cette aire par rapport à Tabscisse variable a:, est la fonction qui exprime l'ordonnée de la courbe; donc l'aire de la courbe dont l'équation est

est une fonction dont la dérivée est F (jc) , et la différentielle F (jr) dx.

PREMIKRF. PARTIE. 20Q

Le problème a donc toujours une solution , et il est facile de voir qu'il en a une infinité ; car si Ton ajoute une quantité quelconque indépendante de x à une expression qui satisfait à la question , on en aura une nouvelle • qui satisfera de même , puisque la dérivée de la constante est zéro.

De plus ) nous avons démontré que deux fonctions qui ont la même dérivée ne peuvent diflFérer que par une constante : on aura donc la fonction la plus générale qui ait une dérivée donnée, en ajoutant une constante arbitraire à une fonction particulière quelconque qui aurait cette même dérivée.

207. Intégrales définies. — Désignons par fix) la fonction dont la dérivée est F (a:). Si l'on fait passer la variable, d*une valeur particulière a à une valeur quelconque x^ entre lesquelles cçs fonctions restent continues, la fonction /*(a:) prendra l'accroissement fini f{x) — f{^)^ que l'on peut regarder comme identique avec la somme des accroissements infiniment petits que recevra successivement la fonction, quand on passera de a à X , par un nombre indéfiniment croissant de valeurs intermédiaires. Mais, d'après la définition de la dérivée, l'accroissement de f(x) résultant de l'accroissement dx de la variable, et le produit F(x)dxy ont pour limite de leur rapport l'unité , quelque valeur de x que l'on considère : donc on peut remplacer l'une par l'autre ces quantités infiniment petites, sans que la limite de la somme cesse d'être égale à la somme des- premières, qui est^(x) — /(«)• D'où Ton tire cette conséquence générale, que la somme des produits d'une fonction continue quelconque par l'accroissement de la variable , lorsqu'on y fait passer cette variable par toutes les valeurs intermédiaires entre la première et la dernière, a toujours une limite égale à la différence des valeurs que 2*^ édit. \i

2IO COUKS D* ANALYSE.

prend , pour ks valeurs extrêmes de x, une fonction qui a pour dérivée la première. Cette limite se nomme une i'ntégraledéfinîe ^nouslsL représenterons de cette manière:

¥{x)dx.

Réciproquement, Faccroissement fini d'une fonction quelconque peut être regardé comme la limite de la somme des produits de sa dérivée par Faccroissement infiniment petit de x, quand on fait passer cette variable par tous les degrés entre ses valeurs extrêmes.

208. Il est utile d'observer que dans chacun des produits F ix) dx^ on peut prendre , au lieu de x, toute valeur' qui' en diffère d'une quantité infiniment petite*, car la limite du rapport des éléments correspondants sera l'unité, puisque F (x), etj par suite, F [x) dx^ aura varié d'une quantité infiniment petite par rapport à lui-même.

On pourrait même, au lieu du facteur dx^ prendre une quantité qui en différerait d'un infiniment petit d'un oi*dre supérieur au premier, parce que la limite du rapport des éléments correspondants serait toujours Tuni té.

11 résulte de là une proposition déjà démontrée, et qui consiste en ce que deux fonctions qui ont la même dérivée ne peuvent différei: que par une constante , c'està-dire par une quantité indépendante de la variable. En effet, les accroissements qu'elles prendront respectivement quand x passera d'une valeur quelconque à toute autre valeur, seront les mêmes, comme étant limites de sommes identiques : donc la différence des deux fonctions est la même quel que soit x.

209. La fonction la plus générale qui ait pour différentielle une expression donnée F [x) dx se nomme \ intégrale indéfinie de Y^x)dx^ et se représente ainsi: /F (.r) dx. Elle est égale à une constante arbitraire, plus