PREMIÈRE PARTIE. 21 I

une fonction particulière quelconque ayant pour diflfé* rentielle F (x)dx'^ elle peut donc être exprimée par

F(a?)flfj:-f-C,

Xo étant une valeur particulière quelconque de x, et C une constante arbitraire. On aura donc , en général ,

/f(jp)£/^=î/ T{x)dx-hC.

Si Ton pouvait connaître une fonction f(x) dont la dérivée fût F (x) , et qui ne résultât pas de la somme des valeurs de F (x) dx entre deux limites x^^ et j:, on aurait toujours la solution générale de l'équation en lui ajoutant une constante arbitraire. LHntégrale indéfinie serait donc donnée par l'équation

210. Si Ion connaît l'intégrale indéfinie de ¥[x)dxy et qu'on veuille déterminer l'intégrale définie entre les limites a et & , on cbercbera d'abord l'intégrale définie dont les limites seraient a et une valeur quelconque de x : elle sera renfermée dans l'intégrale générale y (^) ■+- C, puisqu'elle jouît de la propriété d'avoir F {x) pour dérivée. On aura donc

Mais C n'est plus arbitraire , parce que le premier membre de cette équation étant nul pour x = a , il faudra que l'on ait

«p(fl)-f-C = o; donc C= — f(<ar), et

2(2 GOUES DANALTSC.

Si maintenant on fait a: = &, on aura l'intégrale définie demandée

ce qui s'accorde avec ce que Ton a vu précédemment, savoir, que la différence des valeurs d'une fonction quelconque , correspondante à deux valeurs a et & de or, était la limite de la somme des produits de sa dérivée par la différentielle de la variable.

Diverses méthodes d'intégration,

2H. Intégration immédiate, — Lorsqu'on reconnaît dans Texpression à intégrer la différentielle d'une fonction connue, il suffit d'ajouter à cette fonction une con- • stante arbitraire pour avoir l'intégrale générale demandée \ et il "est ^on d'observer que si l'on multiplie une différentielle par une constante quelconque, l'intégrale se trouve multipliée par le même nombre. Ainsi d'abord, en considérant les différentielles de toutes les fonctions simples , comme nous l'avons déjà remarqué vers le commencement du oalcul différentiel, on formera un premier recueil d'intégrales indéfinies, renfermé dans le tableau suivant :

x^dx = hC,

wH- I

d.a'=za*\adx, , I a*É?jr = p -f-C, | e*djc= e«H-C,

. 1 'oge I rdx logx ^ , ^

X x\a J X loge *

sinx = cosa:<ir^., , i cosarda; = siD.r + C,

= — sinxiir, , I ^mxdx=^ — cosjr -+-C,

rf.cosa: