PREMIERE PARTIE. Sg

DifTérentiant les deux membres, il vient

et comme on reconnaît facilement que Ton a

cette équation deviendra

djr mdx

et, par suite,

, , dy

dy ^=. mx^"^ dXy et -—== /war"^'

dx ,

comme dans le premier cas.

Dans le cas particulier de /» = — i , on trouve

I dx

Si /w = - , on a

36. On peut parvenir directement à la diâerentielle de X"*. Si l'on suppose d'abord m entier et positif, on aura y en désignant x"" par j^,

Ay = mx"*"^ Ax H ^ a: "~"^ Aa:' H- . . . ;

i » jâ

divisant par Ax et passant à la limite , on obtient

dy z=z mx^'^^dx.

Soit maintenant /w = - > p et q étant entiers et positifs , on aura

y=ix^y d*oii yi=ixP.

4o COURS d'analtsb.

Dîfférentiant les deux membres , il vient

qy y-' dy :=. px P~^ dx ;

d'où

p jr'~' p ~~" *

rfy = dx=z —x^ dx = mx'"^* dx,

q jî- q

Cette formule étant vraie, quelque valeur commensurable qu'ait m , est encore vraie lorsqu'il est incommensurable.

Soit enfin m= — /î , n étant un nombre quelconque positif, on aura

jr =r x"-" = — -, d ou jrx" r= I .

Difl'érentiant les deux membres, il vient, en appliquant au premier m^embre la règle des fonctions composées ,

x'^ dy -^ nx^"^^ y dx •=. o \

d*où

dy =. — /ijr""""' = mx'^"^ dx.

Ainsi, quelque valeur qu'ait m, la différentielle dex'" est, comme nous l'avions déjà trouvée, nix"""^ dx,

37. Différentielles desinx, tangXy sécx, — Les lignes trîgonométriques étant des fonctions de Tare correspondant ("voir, dans les applications géométriques, l'article sur la longueur des lignes courbes) , nous pouvons chercher l'expression de leurs différentielles correspondantes * à celle de Tare. Dans tous ces calculs nous supposerons que le rayon soit pris pour unité.

Soit d'abord

y z=z sinjT, il en résultera

' / * \ • . àx / ^x\ Ay = sin (x -h Ax) = sm JF = 2 sin — cos I .r H J ;