VI — X* */ V

dr r dx ^ ^

a.arctangx = — — -, , I 5 = arc taiig x -f- C ,

— dr /• — dx

d.arccotx = r, , I 1 = arccotx-+-C

i-HJc** J I-+-X*

Nous désignons ici par j: une variable quelconque, qui pourrait être une fonction d'une autre variable.

En d'autres termes, on peut remplacer x par une fonction quelconque ^{x) dans toutes les formules précédentes. Ainsi, par exemple, la première donnera

\^{x)Y.d.^[x) = Lîl^ll!!!.^- c.

m -h 1 212. Il y a une remarque à faire sur la formule

x'^dx = h C.

Elle devient illusoire lorsque Ton suppose m = — 1 . Dans ce cas, la diflerentielle est — ^; et son inté£;rale Ix-hC

n'étant plus algébrique ne saurait, en eflet, être fournie

par l'expression algébrique 1- C.

Néanmoins, comme la formule est exacte, quelque près que m soit de — i , on peut en déduire l'expression qui doit la remplacer dans ce cas -particulier, en faisant converger m vers la limite — i , et choisissant la constante arbi'^

2l4 GOUftS u' ANALYSE.

traire de manière à ce que le résultat tende vers une limite finie. Il suffira , pour cela , de mettre le second membre

sous la forme h C t , et la première partie se

présentera sous la forme ^ pour m = -— i , C i étant une constante arbitraire ; on aura donc constamment

La première partie qui devient \ quand on fait w = — i , a une limite déterminée, égale à Ix — la; et si Ton fait C 1 ^ — 1 . a = G', on aura

ce qui s'accorde avec la troisième formule du tableau précédent.

213. Intégration par décomposition, — La difïerentielle d'une somme de fonctions étant la somme des diiférentielles de ces fonction», il s'ensuit qu'on aura l'intégrale générale d'une somme de différentielles, en faisant la somme de leurs intégrales, et y ajoutant une constante arbitraire, si l'on n'en a déjà ajouté dans les intégrations partielles.

On pourra donc intégrer une expression différentielle , si l'on peut la décomposer en plusieurs autres dont on connaisse les intégrales. Quelquefois fa décomposition n'est employée que pour ramener à des expressions plus simples, que l'on cherche ensuite à intégrer par d'autres procédés.

Le nombre des parties dans lesquelles on décompose la fonction donnée peut être infini \ c'est ce qui arrive quand on la développe en série : dans ce cas il faudra toujours faire la somme des intégrales des différents termes; mais il y a quelques précautions k prendre relativement à la

PBEHIIRK PARTIE. 2lS

convergence des séries, et nous reviendrons plus tard sur ce point.

21 4-. Intégration par substitution . — Si l'on a à intégrer • F (x) ^o:, et que l'on pose a:==y(-z:), d'oùda: = (j)'(z)rf^, l'expression donnée devient F f 9 (^) ] 9' (^) ^^ ; et la limite de la somme des valeurs de celle-ci sera la même que-la limite de la somme des valeurs de F [x) dx^ pourvu que les valeurs extrêmes se correspondent dans ces deux sommes. Donc on aura

pourvu que z^ et Zi soint déterminés par les équations

On conclut de là que l'intégrale deiinie 1 F (x) dx -hC peut être remplacée par

f ¥[ff{z)]^'{z)dz-^C.

On peut encore s'en assurer en observant que la fonction , dont la dérivée par rapport à a: est F [x) , doit avoir

pour dérivée par rapport à z ,

F{x)/(2), ou F[?(2)]?'(*).

La question est donc ramenée à trouver une fonction dont la dérivée par rapportais soit la fonction F[9(-2r)]q/(-z). La relation x = <f{z) étant arbitraire, on parvient souvent à la déterminer de manière à rendre la seconde intégration plus simple que la première.

Ainsi , par exemple , / F (x -f- a) dx devient , en po-

2l6 COURS 1>' ANALYSE.

sant X -h a = y\

J/»X-t-rt I F(/)rfr;

OU , en changeant la lettre y en x,

on a donc

' F(x'ha)dx=z I ¥(x)dj:.

—^ ;5 on pose X =^ aj^ d'où

/fx = ac^, on a

/' dx I /• <(r I ^1 X

j- — j = - I — ; — i = - arc tangj^ -4- C = - arc tang - -h C.

Soit maintenant «

six"" -h fl'^ on aura -

j x' -H fl ^ =: ^ % xdx = J^4r>

= Jdy=L y 4-C=Vjf'4-«' 4- C.

Voici encore quelques exemples :

le'F{e')dx, e'=jr, e'dxz=(iry j e'F{e') dx= jF{y)df, I cosxF(sinx)dXf sinx=r, j cosxF{Binx)dxz= 1 F{y)4y, Jf(U)Ç, U=^', ^ = dy, jFC\x)^=jFU)dj.