Intégration par parties, — La formule

d(uu) dv du

dx dx dx

PREMI£RK PARTIE. 21 7

donne

fudv =z utf — J'velu y

et ramène la recherche de l'intégrale fud\^ à celle de fvdu. Or on peut souvent décomposer la fonction F [x) , qui se trouve sous le signe d'intégration, en deux facteurs tels 5 que l'un soit une différentielle connue , et que l'intégrale à laquelle on est conduit par ce procédé soit plus simple que la première. Cette méthode s'appelle intégra" tion par parties. Soit, par exemple, fx cosxdx^ on prendra cos xdx pour la différentielle dv^^ et x remplacera u\ on aura donc

fx cosxdx = X sin x — ^sin xdx = x sin x -h cosx -f- C.

De même *

y!r •" cos xdx = x'" sin x — m fx'^~^ sin xdx.

Cette dernière se ramènera à une autre où l'exposant de x sera m — 2 , et ainsi de suite \ on finira donc par arriver à f sin xdx ou f cos xdx^ suivant que m sera impair ou pair. Nous allons appliquer ces différentes méthodes au petit nombre de fonctions qui peuvent être intégrées généralement.

Intégration des fonctions rationnelles.

216. Toute fonction rationnelle de x peut être considérée comme composée d'une partie entière par rapport à x et d'une fraction dont le numérateur est d'un degré moindre que le dénominateur : il y aura des cas où l'une de ces deux parties seulement existera. •La partie entière s'intégrera toujours immédiatement, et il ne peut y avoir de difficulté que pour la partie fractionnaire.

Soit donc jj—^ dx la différentielle qu'il s'agit d'intégrer,

2l8 COUES U*ANALYSK.

F (x) étant d'un degré moindre cpLeJ(x). On cherchera

à décomposer yr-r en fractions plus simples , ayant pour

dénominateurs les facteurs premiers de f(x) 5 ce qui exige d'abord que Ton cherche les racines de ce polynôme. Supposons-les déterminées , et consfdérons d'abord le cas où eljes seraient toutes inégales; désignons-les par a, ft, c,..,, L Soient A, B, C,..., L, des constantes indéterminées , et proposons-nous de satisfaire à Tidentité

F(x) ABC L

j{jp) X — a X — b X — c X — /

ou, en multipliant pary'(x) ,

Toutes ces divisions indiquées dans le second membre donnent des quotients entiers, et les indéterminées sont en même nombre que les différents ordres de termes , relativement à j:r : on pourrait donc trouver leurs valeurs en égalant, suivant la méthode ordinaire, les coefficients des ; mêmes puissances de x dans les deux membres. Mais il ^existe dans le cas actuel un moyen beaucoup plus simple. En effet, si Ton fait x-=-a^ l'identité subsistera toujours , et tous les termes du second membre disparaîtront ,

excepté A -^^-^^ — '—* Pour savoir ce qu'il devient, on pourrait

faire d'abord la division par x — a , puis faire a: = a dans le quotient entier. Mais il vaut mieux traiter la fraction

— - — - d'après la règle relative aux fractions qui se réduisent à ^ ; et l'cfti voit alors qu'elle se réduit kf^(a).

Ainsi l'hypothèse x = a réduit l'identité a la formule suivante ;

¥{a) = Ar{n), d'où A-^-, '

PA£MX£R£ PAATIK. 219

et comme J^ (a) n'est pas nul, puisque a n^est pas une racine multiple , il est toujours possible de déterminer A de manière à ce que Téquation ( i) ait lieu pour x = a. On voit de même qu'en prenant

l'équation ( i ) sera satisfaite par a? = i,a:E=c,...,a:=:/. Il reste à en déduire la preuve de l'identité ( i ) ; car il est très-important d'observer, en général, qu'il ne suffit pas d'avoir trouvé, des valeurs pour les coefficients indéterminés , lorsque Ton n'a pas prouvé d'avance la possibilité du développement. Or on sait que quand deux fonctions entières de x sont égales pour un nombre de valeurs particulières de x^ supérieur au degré du terme le plus élevé, elles sont égales, terme pour terme. Donc les deux mem^ bres de l'équation ( i ) sont rendus identiques par les va-r leurs trouvées pour A,B,C,...,L, puisqu'ils sont égaux pour les diverses valeurs a , ft, c,..., /, dont le nombre surpasse d'une unité le degré du terme le plus élevé,

21 7. S'il y avait des racines imaginaires , rien ne serait changé dans les raisonnements précédents. Les constante^ qui se rapporteraient à deux racines conjuguées, ne différeraient l'une de l'autre que par le signe de \/ — i , et les deux fractions seraient de la forme

M — N v^— 1 M 4- N si — I

Si l'on veut faire disparaître les imaginaires , on effectuera la somme de ces deux fractions , qui se réduira à

On agirait de même pour toutes les autres racines imaginaires.

220 COURS d\nALVSE.