La différentielle ^= peut être înlé

\f a -^ bx — x^

grée d*uiie manière plus simple que par les transformations que nous venons d'effectuer, en la ramenant à la

dz forme > expression qui a pour intégrale arc sîn z,

En effet, on a

dr

dx dx

yja-^bx — X

donc

Jv^

X — -* = arc sm — ■■ ■ 4- C.

-I- bx — x^

229. Fonctions de monômes irrationnels, — Si l'on a une fonction algébrique rationnelle des quantités

a:", o:^,..., x*, il est facile de la rendre rationnelle, en même temps que dx\ il suffira de poser x = ^ "*?•••% on aura alors dx = nq...sz'"f"'*''^dz^ et tous les monômes

a:" ,..., x^ seront rationnels en z,

230. Différentielles binômes, — On désigne sous ce nom les expressions de la forme x"* (a-i- bx^^dx.

On peut toujours supposer m et n entiers; car s'ils étaient fractionnaires , la transformation indiquée dans le numéro précédent ramènerait à une expression semblable où les exposants de la variable seraient entiers. L'exposant y? est fractionnaire \ car s'il était entier, on développerait la puissance de a 4- bx'\ et l'on aurait à intégrer un

P&EMIÈRE PABTIE. 235

nombre &u\ de monômes. Les signes de ces trois exposants sont arbitraires; mais on peut toujours supposer n positif: en effet, s'il était négatif, on pourrait multiplier le binôme a -\- bx'' par a:""" et ajouter np à l'exposant de J?"*, qui pourrait alors' devenir fractionnaire, mais que l'on rendrait entier par la transformation déjà indiquée. On peut donc toujours supposer m ein entiers et n positif.

231. Nous emploierons d'abord la méthode de substitution, et nous poserons. a -4- bx'* = z , d'où

et , par suite ,

x'^{a-\'bx^)P(h:=:'-j^zP i T ^ ) dz.

Donc si est un nombre entier positif ou négatif,

l'expression en z n'aura plus d'irrationnel que le monôme ^P, et on la rendra rationnelle par le procédé indiqué dans le numéro précédent. Si , par exemple , on a

^ = - » on posera z = f^^ ce qui revient à faire d'abord

a-\-bx''= tf.

L'intégrabilité de la différentielle proposée est donc

assurée quand est un nombre entier, quelles que

soient d'ailleurs les deux quantités metn.

232. On peut arriver à un autre cas d'intégrabilité en mettant la différentielle donnée sous la forme

En effet, si l'on applique la condition qui vient d'être trouvée en général, on trouve qu'on pourra Tinlégrer si

m -\-np -^ i - . . /w H- I

est un nombre entier, ou si h /> est

entier^ condition qui pourra quelquefois être remplie quand la première ne le sera pas.

233. On peut appliquer l'intégration par parties à la même différentielle x"'{a -4- bx'*)^dx^ en considérant x"^^ {a'i-bx")f'dx comme une différentielle exacte, dont l'intégrale est

nb(p-hir On obtiendra ainsi

Mais

donc, en substituant, on aura

— ^-=-1 -r / JC »»- * (a-hbx » ) Pdx ^ r / x»*(a-i-bx* ) fdx .

Si Ton réduit le dernier terme de celte équation avec l'expression semblable qui se trouve dans le premier membre , on obtiendra la formule

bx")Pdx=: ^ '

((m — /i-h 1 )fl /• , , , ,

b[m-\-np->r\)j ^ ^

On est ainsi ramené à intégrer une différentielle du même genre que la première, et qui n'en diffère qu'en ce que l'exposant m est changé en m — n.

PREMIÈRE PARTIK. 287

i"^. Supposons que m soît positif et plus grand que n. En traitant cette nouvelle différentielle de la même manière que la précédente, on diminuera encore de n l'exposant àe x\ et en continuant ainsi, Ton sera ramené, après un nombre h d'intégrations , à la différentielle .r"*"'*"(aH-fta!:")Prir, et l'on effectuerait immédiatement l'intégration si l'on avait

m — kn-rr n — i , ou = a- 4- i .

Ce procédé conduira donc à l'intégrale cherchée toutes les fois que m -f- i sera divisible par n. C'est le premier cas d'intégrabilité que nous avions reconnu.

1^, Si m était négatif, la formule ( i ) ramènerait la différentielle proposée à une autre moins simple, puisque l'exposant du facteur monôme y aurait une valeur numériquement plus grande. Mais si l'on tire de cette même équation la valeur de la seconde intégrale en fonction de la première, on aura une formule qui, dans le cas de l'exposant négatif, ramènera l'intégration proposée à une plus simple. Si en même temps on change m — ?i en — w , on aura la formule suivante :

f ^- ; — '- ^ ^ lx-'^+''(a-hbx'')Pdx,

Au moyen de cette formule on abaissera l'exposant — m, puisqu'on le ramène à — m -i- « , et que n peut toujours être supposé positif. En continuant ainsi , l'on arrivera à l'exposant — m-^-hn^ et l'on pourra intégrer si l'on a

— m -^ hn z=z n — i , ou = i — / .

'238 COURS d'aitalysr.

Celte condition ramène encore au premier cas d'intëgrabilité.

Lorsque la difierentielle ne rentre pas dans ce cas, les formules (i) et (2) ramènent toujours Texposant m à une valeur positive plus petite que n,

^ii. Les formules (i) et (2) ne peuvent être employées, la première lorsque Ton a/7H-n^-|-i = o> la seconde lorsque w = i , parce qu'alors Tintëgrale cherchée disparaît, et Téquation qui subsiste ne peut plus, par conséquent, en donner la valeur. Mais dans chacun de ces cas. Tune des conditions d'intégrabilité est satisfaite, et la différentielle devient rationnelle par la substitution que nous avons faite en premier lieu.

235. La manière dont nous avons fait usage de l'intégration par parties avait pour objet de réduire l'exposant de X en dehors de la parenthèse. Mais on pourrait la diriger de manière à réduire l'exposant du binôme (a -h bx").

En effet, si Ton considère x"'dx comme différentielle , on trouvera

Dans cette dernière intégrale on peut abaisser l'exposant m+ n sans changer l'exposant p — i , par le procédé employé dans le n^ 233 , et l'on obtiendra ainsi

x*^ia+bx'')Pdx= ^--^- L

^ fî^P /j?"(fl -h b.r'*)P-''djt,

m-^np-^i J

Cette formule deviendrait illusoire dans le cas déjà exa-

PREMIÈRF PARTI^K. ^Sg

miné , où l'on aurait

En appliquant le même calcul à la différentielle

on abaissera d'autant d'unités que Ton voudra l'exposant de {a-\- bx")^ dans le cas où p sera positif, et l'on parviendra à un exposant compris entre o et i. Celui du facteur x"^ est resté le même 5 mais on pourra le réduire ensuite connue on l'a indiqué précédemment : et si la différentielle ne devient pas intégrable , elle sera du moins simplifiée le plus possible.

236. Si p est négatif, on tirera de l'équation (3) la valeur de la dernière intégrale , qui se trouvera ramenée à une plus simple. Changeant y^ en — /?, pour expliciter son signe, puis mettant p au lieu de p -t- 1 , on obtient S^ 4. ."

/ x'^' (a -h ba:'')~P-^' x'^fa-^ba:TPda:=: ^-— i an{p^i)

an{p—i) J ^

Cette formule ne deviendra illusoire que dans le cas où p z=z I. Mais alors la différentielle proposée est rationnelle, à moins que m ne soit fractionnaire 5 et, dans ce cas , on emploierait une transformation déjà indiquée.

Au moyen de la formule ( 4 ) , l'exposant négatif — p peut être successivement augmenté d'autant d'unités que l'on voudra , et sera ramené à être compris entre o et ■+- 1 . On pourra ensuite réduire l'exposant de x"^ sans changer celui qui affectera le binôme (a -j- ia?").