PREMIÈRE PARTIE

brique, ou rendra algébriques les difl'érenli elles

¥{e')dxy F(sin:r, cosx)dxy F (sin x, sin 2j:, . . . , cos x, cos 2^ , . . . ) dx,

en posant respectivement

c*==z, sia^rrrz, ou cosj7=z.

240. Soit maintenant la difTérentielle Vz^'dx^ dans laquelle z désigne une fonction transcendante.

Si l'on pose

Jprfx = Q, jQ|rfx = R, jR^rfx=S,...

et que l'on puisse obtenir les fonctions désignées par Q, R, S, etc., rintégration par parties fera connaître JVz'^dx. En effet, on aura

(Vz^dx = Qz" — n /qz«-' ~ dx^

I Qz»-» ^ ctr = R2«-' — (/i— i) /R2«-*^d:r,

et ainsi de suite. Donc

fVz^dx = Qz« — /iRz"-' -h w ('^ — I ) S«"""' —

241 . Si l'on suppose P = i et que l'on fasse successivement z =\Xj z = arc sino:, on trouvera

/I»x<fx = a:[l'»x — ni»-' x-Hn(n— l)l«-"«— ...±ii(rt— i). .2 l]-i-C,

/» I arc sin X (arc sin x)' 1, . ,

(arc sin j:)" do? = 1 1 1 (arc sin x)« -h (..

1— (arc sin x) • * * * J

Si Ton suppose P = x"*""' et z = 1 a:, on aura

x'«-«I"arrfx= — |l«x l«-«xH -—^ »" x — ..ifc-^ ^^ |h-C.

2^4 COURS D^ANALYSK.

Si , dans la première et la dernière de ces trois formules, on pose 1 X = r , elles deviennent

ft'»e*dxz=.e*[s'* —ng*— -^n^n— i)««-*— .. .±n(n — i). ..a. iJ-+-C,

si , dans la seconde , on pose arc sin x = z^ d'où

j?:±:sinz, dx =:coszdzy elle devient

fz'^coszdzzzz sinz[i" — n(n — i)«"~*-h. . .]

-+-C0S3[/ÏZ""'— /l[/l— i)(/i — 2)«"-^-h. . .]-4-C.

On peut d^ailleurs obtenir directement ces trois dernières formules, et en déduire réciproquement les trois premières.

242. Les deux intégrales f&" cos bxdx et Je*' sin bxdx peuvent se déterminer à la fois , au moyen de l'intégration par parties. En effet, on trouve immédiatement

/, ^ e"co^bx b C ...

e'^co^bxdx:= 1 — îe'^smbxdx^ a aj

/\. L ^ e^'sinbx b T e^' smbxdx z=z 1 e^' cos bxdx.

a aJ

De ces deux équations oiî tire , pour ces intégrales , les valeurs suivantes :

, , a cos bx-^- b sin bx ^

c*" cos bxdx = ; <?" -H C ,

a^-hb^ '

-, • » j asinbx — b cos bx „, ^ c«' sm bxdx = ^ e" H- C.

243. On pourra encore déterminer les intégrales fx " e*" cos bxdx, Jx " ^ «* sin bxdx^ en abaissant successivement l'exposant de .r. Mais le cal<