Considérons maintenant les difierentielles de la

forme

sin'"j:cos"a:rfx.

Si l'on pose sin jc = z , d'où cos xdx = dz, on obtieût

fi — I

Elle rentre ainsi dans les différentielles binômes, et sera

intégrable lorsque sera entier, c'est-à-dire lorsque

m sera un nombre entier impair ou lorsque n sera un nombre entier impair, ou lorsque m -f- « sera un nombre entier pair. On aurait pu poser coso: == z^ et la différentielle serait devenue

d'où Ton aurait tiré les mêmes conséquences.

245. Au lieu d'employer ces transformations, on peut traiter directement la différentielle proposée, au moyen de l'intégration par parties. On trouvera ainsi

, , /* . , sin'"+'j:cos"-'T n — 1 f* .

(1) I siB>^xco&" Jiax = 1 I siii "«+ cos'"-"xru-.

J W-f- I TO-M J

246 COUmS D*AVALYSE.

ysin"»-**'j:cos"~*x//j:=y(sin"'xcos*~'j:) (i — cos' x)fLc

=ysin"' X cos ■*"' xfix — y*sin * dx cos" xdx ;

substituant et réduisant, il vient

sin •" X cos " x<ir = 1 I sin^xcos»-* rdx.

»îi -f- n m-hn J

Donc , si 71 est positif, cptte formule Fabaisse de deux unités, sans changer m; excepté toutefois le cas où m H- w = o , que nous examinerons plus tard.

En supposant que ce cas ne se présente pas jusqu'à la fin du calcul , et en continuant de diminuer Texposant de cosor, on le ramènera à o ou i s'il est entier.

246. En dirigeant autrement l'intégration par parties , on abaissera successivement l'exposant de sin j:. En effet, on a

,«v /• . , co8"+'xsiii"'--x» m— I r, ^ ,

y«in ""^^ X cos "■*■' xdx =y ( sin "~' x cos " x) ( i — ûn^x)dx

= y sin *■"* X cos " xdx -^ y sin "* x cos" xdx.

Substituant dans la précédente, et réduisant, il vient

,^ /• - sin"»-»xcos"+'x m — i f* .

fa) I 8in'"xcos''xax= 1 1 8in"-»xco8''xdx.

Si donc on excepte encore le cas de m -f- « = o, on abaissera Texposant de sin x d'un nombre pair quelconque , et , s'il est entier, on parviendra à le réduire à zéro ou à l'unité sans que Texposant de cosi: ait changé. S'ils sont tous deux entiers, on les réduira successivement l'un et l'autre, autant que possible, sans les rendre négatifs, et

PEEMiÈaE PARTIE. 247

il restera à intégrer une des expressions suivantes : fdxy fcosjcdjCf fsmxdxj fsinx cosxdxy

que nous considérerons tout à l'heure.

247. Supposons maintenant que m étant positif, n soit négatif et remplacé par — n^la. formule (2) donnera

/sin'"^: , sin'"-^'x « -f- i /•sin'"x , flfj? = r f — dx, cos"a7 [m — n)cos"'^^x m — nj cos'^^^x

L'exposant de cos x se trouvant élevé de deux unités , on tirera la valeur de l'intégrale qui est dans le second membre , et Ton trouvera , en changeant /i -h 2 en « ,

,^, rûn'^x , sîn'""^'ar n — m — 2 Cûn'^x ,

(5) 1 ax=.- ^ ■ 1 I dx,

^ ' J cos"j: [n — i)cos"~'j? /^ -^ i J cos'*~'j?

Cette formule ne peut être appliquée dans le cas de » = i . Si en même temps m est entier, on l'abaissera au moyen de la formule (4) , et l'on parviendra à

/sïnx , r dx .

dxy ou I 9 COS^ J cos 07

expressions que nous intégrerons tout à l'heure.

248. Si , au contraire, n est positif et m négatif, remplaçons-le par — m dans la formule (4) , elle devient

/ces" X , cos""^' X w 4- I /* cos"a: , . ^ dx = , . ,. ■ H I . ,^- dx.

sm"^ (/Tî-^wjsm*'*''^ m — njsin''^^x

L'exposant de sina: étant augmenté de deux unités, on tirera la valeur de l'intégrale du second membre, et l'on aura , en remplaçant m -+- a par m,

//•\ rcos''a: , cos""^'a: m — n — 2 /*cos".r ,

(o) I -: dx=: — ■; r— : h— I -; ~-dx.

J sm"'x (w — ijsin^-'x m — i J sm'"~*j:

Cett« formule ne peut cire appliquée si ni= 1 5 mais alors,

2^S Gouas d'analysb.

en abaissant l'exposant décos a:, on arrivera, s'il est entier, à Tune des expressions / -. — dx^ ou | -; — •

^ J sinx j smx

249. Supposons enfin que m et n soient négatifs tous les deux, et remplaçons-les par — m et — n. La formule (2) deviendra

/ djc --j[ n-hi / * dr

sin^xcos» x (m-j-n) sin'»-»xco8"+' x* m-^n J siii^x co8*+»x'

OU, en tirant la valeur de la seconde intégrale, et changeant w-f- 2 en w,

. V r dx I wi -Hw—a /•

' J sin'»xcos''x~'(n — i)8in'»-« xcos»-' x m — i J si

n'^xcos^-'x

On tirera semblablement de la formule (4)

/dx I m-i-i /• dx

sin"»xc08''x (m-i-n) si n^+'xcos" -'x m-f-n J sin'»+«

X cos " X

Tirant de là la valeur de la dernière intégrale, et remplaçant m -h 9. par m, il vient

fa\ r dx — I m^-n— 2 /» <ix

\/ sin"»xcos''x (m — i)sin«-»xcos"-'x m — i J 8in"»-»x

»x cos"x

Au moyen des formules (7) et (8) on diminuera du plus grand nombre pair possible, les exposants de sinx et cos a:. Il n!y aura d'exception que pour le cas de m = i ou 7î = I , et alors on parvient , en supposant m et n entiers , à Tune des expressions suivantes :

J SVCkX J COSJ7 J si

sinj:cos:c

250. En réunissant les cas particuliers auxquels on est conduit par Inapplication de ces procédés, on voit que Ton est toujours ramené, quand les exposants sont en-

PREMIK&E PARTIE. 249

tiers , à efTectuer Tune des intégrations suivantes :

/dx^ icosdx, Isinxdx, / stii x cos o:^ , / dx, i — — dx, J J J J cosj: * J sinx

/* dx r dx r dx /•j>in'»jî /•cos*»ar

sinxcosx' J sinx^ J cosx^ J coa*"x * J &in'-x

Les six premières s'obtiennent immédiatement, et ont pour valeurs respectives

J*dx = a: -h C , fcosdx = sin x -h C ,

I ^ïnxdx = — coso: -h C , I sin jt cosjrdx = h C.

Dans les deux suivantes le numérateur est la différentielle du dénominateur, abstraction faite du signe. Donc

/$ina;^x , ^ Ccosxdx . , ^ = — lcosa;-f-C, | — : = lsmx-hC.

cos j: j sm x

On intéerera la suivante -: en divisant ses deux

^ sin.rcosa7

termes par cos'x; elle devient alors

: = I ^- = 1 tancjc 4- C.

mx J tango: ^

ces or

ImJF

La suivante -: — s'intécrera en divisant ses deux termes smx ^

par cos* \x^ après avoir remplacé sinx par 2 sin - cos -^

elle devient alors

cos» - /•«/. tang-

^in - / lanR -

• co» —

25o COURS d'aNaLYSK.

On ramènera rinléeralc 1- — à celte dernière, en observant que

= — I taog

sin"jr , cos^j: , . i» i

sions ax et -; ax , qui rentrent 1 une dans