Observons quHl est quelquefois plus simple de

réduire les différentielles de la forme -; , en les

sin"a:cos"j:

multipliant une ou plusieurs fois de suite par sin'x-hcos'jc,

dx ce qui n'en chanfi;e pas la valeur. Par exemple -î—- ~-

se ehanfi'era en — — - -h . , dont Tintéerale est ^ ces' A' sin'ar ^

tang X — cota: -h C.

Remarquons encore que l'on pourra quelquefois , avec avantage , remplacer les puissances du sinus et du cosinus de X par leurs développements en fonctions linéaires des sinus et cosinus des multiples de x.

-Nous terminerons par l'intégration de deux expressions

qui se rencontrent souvent.

dx

La première est -^ — ; r— 7— On Tintècre en

* a-^bcos^x -h csin^x ^

posant tango: = 2 , et Ton obtient

'-===^==: arc tan{*.z i / r -+- G.

Si a -\-c et a-P- i ne ''sont pas de même signe, cette expression se change en logarithme.

La seconde est ; : elle se ramène à la première

a-h cos^ '

en remplaçant cos jc par cos' sin' -? et l'on posera

alors tang- = z.

PREBtIKRF PARTIE. 253

Intégration par séries,

254. Lorsqu'on ne peut intégrer exactement une différentielle F (2?) <ir, on peut se proposer de développer son intégrale en série ; et pour cela on développera d'abord la fonction F [x). Soit donc

et admettons que cette série soit convergente , sans quoi elle ne pourrait remplacer aucune fonction.

Soit 5„ la somme des termes jusqu'àp m„ inclusivement, et 7'„ le reste de la série , qui tend vers zéro à mesure que n augmente. On aura

Intégrons les deux membres de cette équation entre deux valeurs quelconques a:© et X , nous aurons

et puisque /'„ tend vers véro, I r^dx tend aussi vers zéro 5 donc