XX /»X /»X /»X

F(x)rfa:=lim / Sndxz= j u^dx-^ j «.«/x-f-...,

OU, en remplaçant X par x,

Jl ¥(x)dx=j Uoda: -{-... .

x^ Jx,

L équation subsistera évidemment en prenant les intégrales indéfinies

f¥ {x) dx =:fuodx -^, , . ,

255. Si la série (i) n'était pas convergente, pour la limite X, on pourrait craindre que la formule (2) ne fut inexacte 5 mais nous allons voir qu'elle subsiste encore , pourvu qu'elle soit convergente. En effet, elle est démontrée pour toute valeur de x comprise entre a: et X ; c'està-dire que Ton a pour ces valeurs

' F(.r) dx= j u^dx "^ . . .-h j Undx -f- . , , .

Or la limite de la somme des termes du second membre est une fonction déterminée et continue de a:, puisque la série des intégrales est supposée convergente, même pour la valeur X. Si donc on fait tendre x vers X, les deux membres de l'équation tendront chacun vers une limite, et ces limites ne peuvent être inégales. Donc

Y{x)dxz=i\ u^dx-^- l u.dx-^-

La même démonstration se ferait pour la limite Xq , et même pour toute valeur intermédiaire , pour laquelle la série ( i ) cesserait d'être convergente , sans que la série des intégrales cessât de l'être.

256. La fonction F(x) peut quelquefois être développée de bien des manières différentes en séries convergentes : on choisira celle qui conviendra le mieux à la question. Si on la développe suivant la formule de Maclaurin , on aura

et, par suite,

11 est facile de reconnaître que ce second membre n'est