PREMIÈRE PARTIR

expression que nous avons intégrée dans la théorie des di fTérentielles binômes .

259. L'intégration par séries peut servir à faire connaître les développements des fonctions dont on sait développer les dérivées.

Ainsi, par exemple, la dérivée de arc sinx est -p= dont le développement est

donc

, i x^ 1 .Sx* 1 .3.5a?'

arc sinx = C-hx-+--^ — f 7 -= — I 7-^ h . . . .

Mais il faut remarquer que le radical ayant été pris positivement , on suppose que l'arc et le sinus varient dans le même sens. La formule ne s*applique donc pas aux arcs

compris entre -etTr, mais elle convient aux arcs compris entre o et H — : elle conviendrait de même aux arcs *■ 2

entre o et Elle doit, par conséquent, être satisfaite

quand on y fait :c = o, et, par suite, C doit être nul;

on a donc

IX* ï .3 X* 1 .3*5.»*

arc sin X = jc -h - = 1 7 -=- -f- — r ., h . . . .

Le développement de - n'est plus convergent pour

^ = I ', mais , comme la série des intégrales ne cesse pas

de l'être, la formule précédente représente arcsinx^ même lorsque x = i . On a , pour cette valeur particulière ,