TT III

261 . Cherclions encore de cette manière le développement de 1 ( I -h x)^ dont la dérivée est • Si Ton

suppose x<C i ^ on a

COURS Vt ANAl.YSK.

Passage des intégrales indéfinies aux intégrales

définies,

262. Nous avons démontré , dans le n** 207 , que si la dérivée d une fonction quelconque F (x) est continue pour toutes les valeurs de la variable depuis a:» jusqu'à x, la difTérence F (x) — F (xo) est la limite de la somme des valeurs que prend F' (x) dx, lorsque l'on fait passer la variable de Xo à X, par degrés infiniment petits représentés par dx -, d'où résulte la formule

Ainsi, pour connaître l'intégrale définie de F' (x) dx entre des limites données , lorsqu'on connaît l'intégrale indéfinie, ou une fonction quelconque F |ar) ayant pour dérivée F' (x) , il suffit de substituer les limites de l'intégrale dans F (x), et de retrancher le r^ultat relatif à la plus petite limite, de celui qui se rapporte à la plus

grande.

Exemples :

I e-*^' cos bxdxT=: , ^;i > I

^-«r sin&xdx =:

««-4-fr»'

r* . .1+. ^, 2.4.6.. ^V f^cos^^+'rdlx

j «n**x^=- 2.4.6... SI* 2 ./^

PRRMIKRF. PARTIE.

îr

/ C08**j:»in'*'*"''ï</j!-= — r- — --r-:

./^ ('1/ -4-1) ('il

-+-3).. Oii-f-'iA-t-i)'

/» » Jr**<fg 1.3.5...( 2A J^ y/l — a:« ~" a. 4. 6.,.

2Âr 2

^ • A'*-^'dx a.4.6...2A

r • A- "-^'dx 2.4. 6..

Ces dernières intégrales rentrent dans deux des précédentes en posant x = sinz ; d'où

iT:=

= dz.

x^'^elx

L'intégrale indéfinie de —^ peut être déterminée

en décomposant en fractions simples l'expression ^^ " — 1

dans laquelle on peut toujours supposer m <^ n. D'après

cela , si l'on fait = a , on obtiendra

=— |8iDa7r-4-8in3<iir-h»in5a7rH-. . .-^-sinCan — i)«7r 1 = — r-

ajc

On aura encore, en supposant que- m et n soient des nombres entiers positifs , tels que m<^n^

n sin

mrr

Si maintenant on pose x'' =z^ - = a, celle équation

= -. 7 a ayant une valeur commen-

262 COURS D^ANALYSl.

surable quelconque comprise entre o et i , et pouvant avoir aussi, par conséquent, toute valeur incommensurable comprise entre les mêmes limites.

On trouvera encore, d'après une formule précédemment démontrée, en supposant /i > i ,

fiiC I . 3 . 5 . . . ( 2/1 — 3 ] TT

(i-f-jc*)» 2.4.6. ..(a/t — 2)2

Il faut bien remarquer que la formule ( i ) ne subsisterait plus si la fonction F(jc) devenait infinie entre les limites de l'intégration. Dans ce cas , la somme des éléments F' (a:) ctr peut être infinie, ou indéterminée. Il faudra donc toujours s'assurer si F(x) ne devient pas infini dans cet intervalle, et c'est seulement lorsque cette circonstance ne se présentera pas, que l'on pourra dire que F (or) — F (a:©) est la limite de la somme des éléments tels que F' (x) dx. Dans le cas contraire , on partage l'intégrale en deux autres ayant pour limite commune la valeur particulière de x, et l'on examine séparément chacune d'elles.

— 9 la formule ( i )

donnera — ^7-3 — 5—3 ? expression qui est négative , tandis

que tous les éléments sont positifs. Mais ~ devenant infini pour X = o, il faut s'assurer si l'intégrale ne le devient pas aussi. C'est ce qui arrive en effet, et la formule ( I ) suppose que cette circonstance n'arrive pas.

Dans le cas actuel , les deux intégrales partielles sont infinies de même signe; par conséquent il n'y a pas indétermination, et l'intégrale demandée est infinie.

Cdx Considérons encore l'intégrale I — • Si les deux limites