PREMIÈRE PARTIE

sont négatives, on a une somme d'éléments négatifs, qui seraient les mêmes , au signe près , que si Ton prenait ces limites positives. Ainsi Ton aura

— = 13 — la = l-

Il n y aurait de même aucune difficulté pour deux limites positives 5 mais si elles sont des signes différents, l'intégrale \x passant par Vinfini, la formule (i) n'est plus démontrée 5 et il y a cela de remarquable , que la somme des éléments est réellement indéterminée.

. ,. . /•"+"* dx

En effet , soit l'intégrale définie I — ; partageons-

la en deux autres , dont les limites soient — a , — e/x pour la preinière, et -h ev, -f- i pour la seconde; e étant une quantité qui tend vers zéro, et (x, v deux nombres constants arbitraires. La première intégrale aura pour valeur

1 — > et la seconde 1 — : leur somme sera 1 - + 1 — Elle ne

a gv va

renfermera plus e , et, par conséquent, si l'on fait tendre cette quantité vers zéro , on aura pour la somme des deux

C^ dx intégrales, ou pour l'intégrale I — 5 la quantité indéter-

minée 1 - -f- 1 -> qui-dépend du rapport arbitraire des intervalles infiniment décroissants e|ui, £V. Si on les suppose égaux, 1 ~ devient 1 1 ou zéro, et il reste 1 — C'est ce que

M . Cauchy appelle la valeur principale de l'int^rale indéterminée.

263. Lorsque l'on applique l'intégration par parties à la transformation des intégrales définies , et qu'on donne les mêmes limites aux intégrales, il est facile de voir, en général, comment doit être déterminée la constante.

264 COURS dVnaltse.

En effet, on a

ff(x)d^{x) =/(x)ç{x)-/,(x)rf/(x).

Si Ton veut que les intégrales soient prises entre les mêmes limites Xo et X , on commencera par les prendre à partir de Xo \ mais alors il est nécessaire d^ajouter une constante arbitraire à l'un des membres, ce qui donne

Pour que celte équation ait lieu en faisant x = Xo^il faut que Ton ait C = — f(^o) ? (^o) ? et, par conséquent,

J /W.rf.?(x)=/(X)p(X)-/(*.)î,(x.)-J f(.T)d.f{x).

264. Si l'on renverse les limites d'une intégrale définie , on ne fait que changer son signe ; car les accroissements de X changent de signe , et les valeurs absolues des éléments différentiels ne changent pas. On a donc

F(ar)^x=:— 1 Y{x)dx^

*. Jx

ce qui s'accorde avec l'expression de l'intégrale définie au moyen de la fonction (f{x) dont la dérivée est Y (x). En effet, on a

Ç ¥[x)dx=^ff{X)-f^{x,), f =y(a?.)-(p(X)[, Jx^ «/X

expressions égales et de signes contraires. -