On peut changer l'intégrale I F(x) dx dans la

suivante i

j F( X -f- Xo — x) dxy

PRKMIKRK PARTIK. 9.65'.

dont les limites sont les mêmes. En effet, les éléments qui les composent l'une et l'autre sont les mêmes en ordre inverse. En partant de cette remarque, qui est quelquefois utile , on peut, par une suite d'intégrations par parties, obtenir très - simplement la série de Taylor, comme on va le voir.

266. Série de Tajlor, — Soit F (x) une fonction quelconque qui reste continue , ainsi que ses /* premières dérivées, entre les limites x elx-\-h. On a évidemment

F{x-(-A) — F(x)= r F'(^H-z)^2; et, d'après ce qui vient d'être dit ,

¥'{x-hz)dz=: j ¥'(a:'{-h — z)dz:

X est constant dans cette intégration, z seul varie.

Intégrant par parties cette dernière expression et celles qui s'en déduisent, il vient

= ^F ' (jr-+-A-«)-i- — F " (x-i-h-s)^ f— F '" (xH-fe ^z)dz = ...

-H r £11! -F'Var-f A-«)^r.

Si Ton prend les intégrales entre les limites o et /i, il faudra faire successivement ^ = A , z =zo dans les termes en dehors du signe f^ puis retrancher le dernier résultat du premier, ce qui donnera

f F'(xH-A^5)rf. = /rF'(r)-f-ilF''(r)^...-i-^^ J^ **^ l.i. . .(w— l)

i.2...(n-ij -'

266 COURS D^NALYSC.

Mais

donc

F(r-hA) = F(x)-hAF'(x)-|-^F''(;r)-*-...H ^ F — (x)

i.a...(ii— i)Jj ^

Lorsque le terme qui renferme Tîntégrale définie tend vers zéro à mesure que n augmente, la série converge v<3rs F (jr -f- A) , et devient celle que Taylor a fait connaître.

On peut donner une autre forme au terme qui exprime l'erreur commise, en s'arrêtant au terme de rang n. En effet, l'intégrale définie est égale à la somme des facteurs z'^^^dz j multipliée par une valeur moyenne entre la plus petite et la plus grande de celles que prend F"(x-hh — z) quand z passe de o à A 5 et comme cette fonction est supposée continue dans cet intervalle, cette moyenne est l'une des valeurs que prend F"(x-f-A — z), pour une certaine valeur de z comprise entre o et A : d'où résulte aussi pour A — z une valeur comprise entre o et A , que nous représenterons par 9h. Le terme qui complète le

développement devient donc

^—-^ — ^. / z«-'rf3, ou F"(x-hôA).

C'est sous cette forme que nous l'avons présentée dans le Calcul différentiel : d est une fonction inconnue de x^ et l'on sait seulement qu'elle a une valeur positive plus petite que l'unité.

En prenant la plus petite et la plus grande des valeurs de F"(x) dans l'intervalle de x kx -{-h^ on aura deux limites entre lesquelles sera comprise Terreur commise en