PREMIERE PARTIE
s'arrètant après le /*'*'"' terme. L'intégrale définie donne la valeur exacte de cette erreur^ mais elle présente la diiSciilté de l'intégration , et Ton ne peut généralement se proposer que delà renfermer entre deux limites connues.
Dijférentiation et intégration sous le signe f.
267. Nous avons fait connaître , au commencement de ce Cours, les règles pour différentier les fonctions explicites, ainsi que celles qui sont liées entre elles et avec la variable principale par des équations dont les deux mem*bres sont des fonctions explicites. Nous allons considérer une autre espèce de fonction et donner le moyen de la différentier.
Soit la fonction u= j F(z^x)dz que Von se pro-
pose de différentier par rapport à jc^ les limites Tq, Z, pouvant être des fonctions quelconques de x.
On aura, en considérant cette intégrale comme une# fonction composée de Zo ? Z , x, qui sont toutes des fonctions de jr,
du / du Wao / du\dZ / du \
dx \dz^] dx \dZJdx \^V
Or on a d'abord
Quant au troisième terme —t qui est relatif à la supposition de z^ et Z constants , il est la limite de
Jr»Z /»Z
F(«, .r-h//)r/2-- / F(z, x)dz
268 COURS i/aNALYSK.
OU de
— — aZy
et a pour valeur
'^rfF(«, x)
dx
Donc
dz.
dz^
dx
On parviendrait très-simplement à la même formule , en considérant l'intégrale définie comme représentant l'aire d'une courbe.
Si les limites sont constantes, c'est-à-dire indépendantes de x^ on a
dx
/ F(ZfX)dz=l ^— ^ — i-dz;
on voit qu^alors les deux opérations de dilTérentiatiou et d'intégration peuvent se faire dans un ordre quelconque. 268. Si la fonction de x était une intégrale indéfinie par rapport à z, on la mettrait sous la forme
x)dz -f-C,
(] étant une fonction quelconque de x\ d'où
du r^d¥(z,,r), dC — dz -A r-'
dx / dx . dx
On peut donc faire, dans un ordre quelconque, les
PRKMliRC PARTIE. 269
deux opérations sur F (^ , x) , pourvu que les constantes relatives aux deux intégrations soient liées par la condition, que la seconde soit la dérivée de la première par rapport à x,
