Si au lieu de difierentîer / F(^, x)dz^ on avait

à l'intégrer par rapport à x entre les limites J^oi X5 z^ et Z étant supposées indépendantes de a:, on observerait, d'après ce qui précède, que, quel que soit z,

I dx j F(z, a:)dz, et j dz I F(«, x)dx

ont la même dérivée par rapport à j? -, et comme elles deviennent nulles toutes deux pour a: = Xo , elles sont aussi égales quel que soit x. L'ordre des deux opérations est donc encore indifférent. Tout cela suppose que la fonction F (-3, x) ne devient ni infinie ni indéterminée^ pour aucune valeur de x et z comprise entre les limites : si cela arrivait, il faudrait un examen particulier dont nous nous occuperons tout à F heure.

270. Si les deux intégrales étaient indéfinies, la première serait

Je,

F(2, x)dz-h(f{x};

en l'intégrant, on trouverait

I dx j F{z, a:)dz-hfiz)-h I (f{x)da:, X„ t/5, Jx,

ce qu'on peut mettre sous la forme

^)^i-h/(z)'hfi{x),

et Ton trouverait un résultat identique en intégrant eu

^^O cou AS D^NALTSE.

ordre inverse-, les fonctionsyeiyi pouvant toujours être regardées comme les mêmes dans les deux cas, puisqu'elles sont entièrement arbitraires.

271 . Intégrales définies singulières. — M. Cauchy a désigné sous ce nom, des intégrales prises entre des limites qui se rapprochent indéfiniment d'une valeur particulière de la variable, qui rend la fonction infinie.

Par exemple, si Ton suppose F (a) infinie, l'intégrale

J/»rt — fis f F (x) dx sera une intégrale définie singulière , si

£ tend vers zéro, [l étant un nombre fini quelconque. On peut mettre la fonction diiTérentielle sous la forme

[x — a) Y [x) \ et si Ton désigne par g une valeur

moyenne entre a — s et a — fxe , l'intégrale sera égale à

\ — -, ou (5~«)F(?)Ip.

Si (^ — a) F (Ç) a une limite dilïérente de zéro quand Ç tend v^rs a , l'intégrale définie singulière aura une valeur déterminée en même temps que [t.. Nous allons voir à quoi cette considération peut être utile dans la détermination des intégrales définies.

272. Cas où la fonction sous le signe f passe par r infini. — Si une valeur x=^a rend F' (x) infinie, et se

trouve comprise dans les limites de l'intégrée f F [x) dx^

Ja.

Jna — s /»y3

' F(x)dx^fmsj F(x)dx'^

on les ajoutera , puis on fera tendre e vers zéro : la limite est ce que M. Cauchy nomme la valeur principale de l'intégrale. On pourra avoir une valeur différente si l'on cherche la limite de la somme des deux intégrales sui-