COURBES ENVELOPPES
287. Les équations qui déterminent les coordonnées a , 6 du centre de courbure, ou du point de la déi^eloppéey correspondant au point (a:', j^) de la courbe donnée, sont , d'ajîtès le numéro précédent,
rfr" rf' r'
Ces équations ayant lieu quel que soit le point que l'on considère, si Ton donne à x' un accroissement infiniment petit , j^', a 5 6 , qui sont des fonctions de x', en recevront de correspondants, et les équations (i) et (a) seront encore satisfaites ; les accroissements de leurs premiers membres seront donc nuls, et, par suite, leurs dérivées par rapport kx\
Or Téquation (i), différentiée en considérant a, ë^jr^ comme fonctions de x\ et ayant égard à Téquation (2), donne
__rfa rf^ç^__ ^__ i
d'où il résulte, comme nous l'avions déjà démontré, que la normale à la courbe donnée est tangente à sa développée, au centre de courbure»
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DI FfÉRENTI ELLES , ETC. 867
258. Le calcul peut encore conduire à la seconde propriété, qui consiste en ce que la différence de deux rayons de courbure d'une courbe est égal à l'arc correspondant de sa développée : il suffit , pour cela , de parvenir à une équationi qui ne renferme que û?R, dcn^ dS,
Or, si l'on différentie l'équation
(3) (y a). + (y 6)' = RV.
on trouvera, en ayant égard à Téquation (i),
et si l'on remet pour x*- — a sa valeur tirée de (i), il vient
, dy da .
et, remplaçant -— par — — 5
dK dsf^
Pour éliminer y' — 6 , on remarquera que les équations (i) et (3) donnent
d'où
Reportant cette valeur de j^' — 6 dans Téquatiou cidessus, il vient, abstraction faîte du signe du radical,
te qui démontre que la différentielle du rayon de cour-
368 uvftE II.
bure est égale à celle de Tare de la développée. D'on Ton conclut qu'un arc (juclronquc de la dévelopjjéc est égal à la différence des rayons de courbure langents à ses extrémités. La description de la première courbe d*un mouvement continu, par le développement de la seconde, en résulte, comme nous Tavions fait voir précédemment.
259. Si Ton donnait Téquation F (a, 6) = o de la développée, et qu'on demandât celle de la développante, il faudrait éliminer a et S entre rétjuatîon donnée et les deux suivantes :
dy , doL doL
dans lesquelles — serait donnée en fonction de a et 6 au
moyen de l'équation F (a, £) = o. Il en résulterait une
dy équation entre j:,j^, — 5 et, au moyen du calcul intégral,
on trouverait Téqua lion finie entre x et y.
Les coordonnées x, y d'un point quelconque de la développante peuvent facilement s'exprimer au moyeu des coordonnées a, S et de l'arc s de la développée.
Une construction très-simple conduit immédiatement aux équations
dcf. ^ d(i ., V SA — j; da
a — X z=z s -—> fj^jrz=s---^ d'où = -— .
ds "" ds 6 — y d^
Si l'on en fait application au cas du cercle, dont l'équation est a* -H 6' = a*, on trouve d'abord
ax-»-6j=r«% ou -x-^- jr=:a, a a
é({uation qui donnerait immédiatement la projection de
CALCUL D£3 DÉRIVÉES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. 36g
xel jr sur le rayon a mené au point de contact. Mais
- = COS-» -=sin- et j=v^'-+-r' — «'. a a il a
L'équation de la développante du cercle sera donc
X CCS- ^x^ -H ^' — «' -I- ^ sin - i/ a?' -h r' — «' = ^ a a
et en coordonnées polaii^s
ô = - V r* — n} — arc ces- »
comme la figure le donnerait immédiatement.
Courbes enveloppes.
260, Nous avons vu (n^ 154) que si l'on considère la courbe représentée par une équation F (jr, j^, a) = o, qu'on cherche la limite des points de rencontre de cette courbe avec celles qui résulteraient d'un accroissement infiniment petit donné à a; et que Ton cherche le lieu de ces points limites sur toutes les courl^es représentées par l'équation proposée , dans laquelle a varierait d'une manière continue , il suffit , pour obtenir ce lieu , d!* éliminer la constante a entre Véquation de la courbe variable et sa dérivée partielle par rapport à cette constante.
Nous avons fait remarquer que les raisonnements qui ont conduit à cette règle supposent que la fonction F [x^y^ a) n'ait qu'une seule valeur, pour un même système de valeurs de x^ y^ a -, car, sans cela , il serait possible qu'on dut prendre deux des formes diâerentes de cette fonction dans les équations des deux courbes voisines. Dans ce cas, on ne pourrait supprimer F (x,y, a) dans la seconde, et les valeurs limites de x, y seraient I, 24
S-JO UVRB II.
celles qui rendraient égales les deux valeurs de celte fonction.
La propriéUî remarquable qu'a cette courbe d'être tangente à toutes les positions successives de la courbe variable, et que nous avons démontrée géométriquement, peut être établie comme il suit par le calcul.
d¥ En effet, si deTéquation — = o on tire « = ç ( j:, jr) ,
et qu'on substitue cette valeur dans F (x, y, a) = o , on aura, pour l'équation du lieu cherché,
Soit l'équation d'une quelconque des courbes variables
Ces deux courbes (i) et (2) ont généralement des points
communs, d'après la génération de la première; or il est
cly facile de démontrer qu'en ces points la valeur de —- est la
fiX
même d'après les deux équations.
En effet, l'équatjpn (i) différentiée donne
dv djr (ix d<f \dx dydxj
Mais — ne diffère de — qu'en ce que ç (x^j) y remplacir
a, et y (a:, j) est précisément la valeur de a qui rend nul
dF j dF ,, . 1 .1
— i donc — est identiquement nul; et il reste pour do-
dr , ^ terminer — -? d'après Féquation (1),
flF dFa(x __ dx dy dx
CikLCUL DKS DERIVEES ET DES DIPV£R£NT)EI.LES , ETC. 871
Maintenant Téquation (a) différentiée donne
dx dy dx '
équation qui ne diflere de la précédenlo qu'en ce que a y remplace ? (^> J")- Mais pour le point commun aux deux courbes, on a a = ç (x,j^), puisque cette équation n'est
autre que--7-= o : donc, en ce point, la valeur de -j- est la
même pour les courbes; donc enfin la courbe variable est constamment tangente à la courbe fixe qui est le lieu de ses intersections successives, et c'est pour cela qu on a donné à cette dernière le nom de courbe eiweloppe.
Néanmoins il ne faut pas croire que la courbe enveloppe soit nécessairement tangente à toutes les courbes variables-, cela n'a lieu que pour celles qui sont coupées par les courbes infiniment voisines , et les raisonnements précédents ne s'appliquent qu'à cellesr-là . Or il peut arriver que ce ne soit qu'entre certaines limites de la constante que cette intersection ait lieu. Il est donc plus exact de définir la courbe enveloppe par la propriété d'être le lieu des intersections successives des courbes variables , que par celle d'être tangente à ces courbes dans toutes leurs positions*
261. Si l'on prend pour la ligne variable la normale à une courbe donnée, l'enveloppe sera le lieu des centres de courbure, puisqu'on a démontré qu'ils sont les limites des rencontres des normales infiniment voisines. En appliquant à cette question la théorie qui vient d'être exposée , il est facile de voir que le calcul conduit à la développée- En effet, l'équation d'ime normale quelconque est
372 OVEE II.
y' est une fonction connue de x\ et x' remplace ici la constante a, Différentîant cette équation par rapport à x', il vient
dx'^ dx'
d'où
dx
d'y' dx'^ el, par suite,
dy''
Ces valeurs de x ely sont précisément celles de « et 6 du ai** 256. Pour obtenir l'équation de la courbe enveloppe, il faudrait éliminer x' entre ces deux équations , après avoir préalablement remplacé j^' en fonction de x' : ce qui revient à éliminer x^ -^y' entre ces deux équations et celle de la courbe donnée. Ce calcul n'est autre que celui qui est indiqué n** 256 pour obtenir l'équation de la développée.
Applications des théories précédentes,
