Parabole. — Soito:* = 'ipy \ on en tire
x' dy X d'y i
%p dx p dx' p
La valeur du rayon de courbure sera
Les coordonnées du centre de courbure seront données
CALCUL DES DEAlvisS XT DES DIFFERENTIELLES, ETC. 37 3
par les équations
et
ou a = ;•
Eliminant xety^ entre ces deux équations et relie de la parabole , on trouve , pour équation de la développée ,
Cette courbe a un rebroussement du premier genre au point pour lequel a = o. Ellipse, — L'équation a*y* + b^x^ = a*i' donne
dx à* y dx ' a'^y^
Or, en désignant toujours par N la longueur de la normale , on a
donc
p désignant le demi-paramètre.
On trouverait la même formule pour l'hyperbole et la parabole. Les coordonnées du centre de courbure seront données par les équations
Si , au moyen de l'équation de l'ellipse, on élimine x de la première, et j^ de la seconde, on trouve, en posant
LtVBB
ou
et, substituant dans Téquation de Fellipse, on a^ pour Téquation de la développée ,
l'équalion de la développée de Thyperbole serait
Elle se déduirait de celle de l'ellipse en y changeant 6*
en — i»
Cycloïde. — L'équation différentielle de la cycloïde est
(if /2fl ., (l^j a
dx y y * dx^ j^
et, par suite,
N désignant la normale; d'où Ton conclurait, comme précédemment , que la développée d'une cycloïde se compose de deux demi-cycloïdes identiques à la première.
On peut déterminer l'aire de la cycloïde en la considérant comme la somme des parties comprises entre les rayons de courbure consécutifs-
Soient QH, PK (^g* 62) deux rayons infiniment voisins, S leur point de concours , et PR parallèle à A A' ; le
rapport des triangles semblables SLF, SRP est ^—7 dont
CALCUL DES DtRlV££S ET DES DlFFEAENTlELLEb , ETC. 3^5
la limite est ^ -, do plus, QRP est infiniinent petit par rapport à ces triangles, ainsi que Taire HSK. Donc la li> mile de la somme des aires LFPR, depuis A' jusqu'à A, est Taire comprise entre la cycloïde AEA' et sa base; et la limite de la somme des triangles SLF est Taire comprise entre AA' et les arcs AB, A'B : cette aire ajoutée à la première forme le rectangle construit sur A A' et 2 a. D'ailleurs le rapport de LFPR à SLF a pour limite 3, puisque le rapport de SPR à SFL a }K)ur limite 4- Donc Taire de la cycloïde AEA' est les trois quarts du rectangle qui a pour base 27: a et pour hauteur 2a, et dont Taire est , par conséquent , 4 ^ ^' •
L'aire de la cycloïde est donc 3 tt a', ou trois fois celle du cercle générateur.
Spirale logarithmique, — Son équation r= «e^'^donne, t'ouune on Ta vu ci -dessus ,
dr me fi^r , wo
N = ae'"^ v^r+^= MO, 0?^. 91 ) S» = mae'''^ =1 AO.
Ou trouvera, pour le rayon de courbure ,
R = ae"'^ s/i-^m\ ou R = MO.
Le centre de courbure est donc à. la rencontre de la normale avec la perpendiculaire menée par le pôle au rayon vecteur.
Si Ton pose
OAX=Ô', AO^r',
Téquation polaire de la développée sera , d'après cfe qui précède ,
m r = mae
On peut lui dooner la même forme qu'à la proposée, en comptant les angles à partir d'une droite faisant avec AX un angle a tel , que l'on ait
me l'équation précédente devient alors
La développée d'une spirale logarithmique est donc une spirale identique, et qui coïnciderait avec elle^ si on la faisait tourner autour du pôle, d'une quantité angulaire a égale à
La différence des deux rayons de courbure MO, M'O' étant égale à l'arc 00' de la développée, il s'ensuit que si le point M' tend indéfiniment vers le pôle , ainsi que O', l'arc 00' se rapprochera indéfiniment d'être égal a MO.
Ainsi la longueur totale de l'arc d'une spirale logarithmique compris entre un point quelconque O et le pôle asymptote, est égale à la tangente OM terminée à la perpendiculaire au rayon vecteur AO , menée par le pôle
CALCUL DES D:éR1V£ES ET DES DIFFERENTIELLES, BtC. 877
