NORMALES AUX SURFACES COURBES

263. Une courbe dont tous les points ne sont pas dans un même plan est dite à double courbure, La tangente en un quelconque de ses points , est la limite vers laquelle tend une sécante qui passe par ce point et par un autre appartenant aussi à la courbe , et qui se rapproche indéfiniment du premier.

On appelle longueur (Tun arc la limite vers laquelle tend le périmètre d'un polygone inscrit, lorsque ses côtés tendent tous vers zéro. Cette limite est indépendante du mode de division de l'arc, parce que les rapports des éléments correspondants de ces polygones,' compris entre des plans parallèles infiniment voisins , ont pour limite l'uni lé.

On pourra donc encore prendre la corde ou la tangente au lieu de l'arc infiniment petit, et la différentielle ds de l'arc d'une courbe à double courbure aura pour expression

ds = ^dx^ -+- <r* ■+- ^*%

les axes de coordonnées étant supposés rectangulaires.

264. Une sécante passant par les points de la courbe ayant pour coordonnées

a:,y,z, et .r-^Ax, y-^^y, z-h^z.

37H LIVAK 11.

fait, avec les axes , dv^ angles dont les cOdinus sout

Ax Ay Ax j

en regardant Û5 comme égal à sa corde, ce qui ne change pas les limites. Leurs signes apprennent si la droite dirigée da premier point vers le second, fait avec les axes des angles aigns ou obtus.

• 1. . , . dx dy dz ,

Les limites de ces expressions, ou — j —»—» sont les

cosinus des angles que fait la tangente avec les axes.

S65. Les équations de la sécante passant par le point x', y^ z' de la courbe et un autre point infiniment voisin, sont

Donc les équations de la tangente seront, en prenant ce^ rapports diiTércntiels à leurs limites,

Si la courbé est déterminée par les équations de se»

projections sur les plans XZ, YZ, on tirera -r-; et -^ de

chacune d'elles.

Si elle est donnée par deux équations à trois variables

ou en déduira

(lYdj^ dF((/ dV d/da/ ^dy df

da/ dz' ^dy dz''^ dzf^^' d^ dz''^dylÛ'^d^''^'^'

et il faudra tirer de ces deux équations les valeurs de

-77? T~'' V^^^^ '^ reporter dans les précédentes, ouéli-

CALCUL DKS DÉRIVÉES BT DES DIFfArEUTI ELLES, ETC. 379

miner de toute autre manière -j-ft -ji'i entre les quatre

équations ; on obtient ainsi , pour les équations de la tan* gente,

Nous verrons plus tard que ces équations ne sont autre chose que celles des plans tangents aux surfaces représentées par les deux équations données, et dont la courbe donnée est l'intersection.

266. On appelle plan normal celui qui est perpendiculaire à la tangente , au point de contact. Son équation sera, d'après celles que nous avons données d'abord pour la tangente,

(^ — x') €ir' -h (r — r') ^7' H- (2 -2') ''^' = o- On pourrait parvenir à celte même équation en cherchant le lieu des droites menées par le point a:', j\ z\ perpendiculairement à la tangente. Soient, en effet, x,/, z les coordonnées d'un point quelconque d'une de ces droites , les cosinus des angles qu'elle fait avec les axes sont proportionnels aux quantités x — x'^j — j'^z — «'; ceux qui se rapportent à la tangente sont proportionnels à dx^ dy^ dz' : or, pour que ces deux directions soient perpendiculaires, il faut que le cosinus de leur angle soit nul ; d'oix résulte , pour tous les points du lieu , (^ — ^') ^' + (y — /) dyJt-[z - z')dz=z o.

267. On peut encore obtenir l'équation du plan normal en le considérant fomme la limite du plan qui ren-

38o LIV&E II.

ferme les points communs à deux sphères égales ayant leurs centres en deux points de la courbe, infiniment voisins.

Soient x\y\ -z' les coordonnées du premier point, x'-h Aj:'; j'+ Aj', z'+ Az' celles du second, et R lé rayon des sphères \ l'équation de la première est

celle de la seconde est

(x — x'— ^xj H- {y — / — A/)'+ (« — 2'— Az')'= R\

Elles ont lieu en même temps pour les points communs , et si on les soustrait l'une de l'autre , on trouve , en négligeant les infiniment petits du second ordre et substituant les différentielles aux différences ,

{x— x')da/-h (r — /) dy-i^{z - /) dz'= G.

Cette équation étant du premier degré est celle du plan qui contient le cercle d'intersection des sphères , pris à sa limite , ou du plan normal.

Toute ligne située dans le plan normal est dite normaie à la courbe.

Tout plan passant par la tangente est nommé plan tangent à la courbe.

Plans tangents, plans normaux, et normales aux surfaces courbes, .

268. Plan tangent, — Une tangente à une surface est la limite vers laquelle tend une sécante menée par un point de cette surface, lorsqu'un second point d'intersection tend vers le premier.

Ce second point pouvant tendre d'une infinité de manières vers le premier, il y a une infinité de tangentes à la surface en ce point. Nous allons démontrer que le lieu

CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES DIVrÏAEHTI ELLES , ETC. 38 1

de toutes ces tangentes est un plan, et nous lui donnerons le nom de plan tangent.

Pour déterminer, en général , le lieu de ces tangentes,

soit

F(jr,7, z)=o, ou z=/(.r,^)

l'équation de la surface.

Les équations d'une tangente quelconque au point x\ j\ z' seront

, . , dx' df . ,, . , . ,. ,

les quantités -7-7 , -—-, sont indeierminees, mais liées entre

elles par l'équation **

dx' dr'

dans laquelle p et q représentent Jes dérivées partielles fcv ' (^7 ' ^^^^^^ ^ Téqualion z =f{x,y).

Si l'on élimine — ? ^ entre les trois équations précédentes, on aura l'équation du lieu de toutes les tangentes. On trouve ainsi

ou

ou

, dz' , , . dz! , . .

'Tji^^-^ désignant les dérivées partielles de la fonction de X etj^ qui exprime la valeur de z. Cette équation étant

du premier degré par rapport kx^y, ^ , il s'ensuit que le lieu des tangentes est un plan .

L'équation du plan langent prend une autre forme quand l'équation de la surface est de la forme

F(x,jr, z) = o,

et non résolue par rapport à z.

On déterminera —, et —, par les équations

dx''^ dz' dx*^^' d/'^dz' dy^^'

et l'équation du plan tangent sera

, ,.dF . ,. dF , ,. dF

269. Normale. — La normale est la perpendiculaire au plan tangent, menée au point de contact^ ses équations seront donc

, dz , - . , dz . ,.

..dF d¥ . ,.dF . ,.rfF

Plan normal. — Si, au point de contact d'une tangente à une surface , on mène un plan perpendiculaire à cette ligne, on aura un plan normal à la surface. On trouvera son équation, soit en partant des équations d'une . tangente , soit par l'intersection de deux sphères égales dont les centres se rapprochent indéflnimeut. De cette manière on aura pour l'équation d'un plan normal quelconque au point x\y\ z\

{x^a/)dx'^i^y—y')df^[z — ^)d^z^o.

Elle est indéterminée parce que les diflerentielles dx\

CAliCUL DES DimvixS ET DES niFFÉREUTlELLES , ETC. 383

dy-'y dz' ne sont assujcuics qu'à la condition

dz'=zpdj/^qdyz=i-^dx' + ^dx'', et si l'on substitue cette valeur àedz\ on obtient

H- dy [r-y H-^.c^ - ^')] = o-

Cette équation changera avec le rapport que Ton établira entre dx' ^ dj\ et représentera tous les plans normaux au point donné.

De cette équation du plan normal on peut déduire celle de la normale, et, par suite, du plan tangent. En effet, on voit quelle est satisfaite, quel que soit le rapport de £^' à dx^ ^ si Ton pose les deux équations .

Donc tous les plans normaux se coupent suivant une même droite, représentée par ces deux équations. Cette droite étant perpendiculaire à toutes les tangentes, ces dernières sont toutes dans un même plan, ayant pour équation

On trouve ainsi, indépendamment de la première méthode, les équations du plan tangent et de la normale.

Sur la distance des droites successives d'un système continu.