Si Ton considère une série de droites dont les

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équations générales dépendent d'une constante dont la valeur puisse varier arbitrairement et d'une manière continue, la plus courte distance de deux de ces droites, correspondantes à des différences infiniment petites entre les constantes , peut être du même ordre que ces différences, ou d'un ordre différent.

L'objet que nous nous proposons ici est de déterminer î

avec plus de précision qu'on ne l'a fait jusqu'ici l'or- i

dre infinitésimal de cette distance, et c'est ce que nous !

ferons au moyen d'une remarque curieuse due à M. Bou- i

quet. Elle consiste en ce que, si dans une série continue quelconque de droites, la distance de deux consécuti\^es est généralement d*un ordre supérieur au premier, elle est au moins du troisième >

Soient , en effet ,

les équations d'une droite quelconque de la série, a^ b, a , 6 dépendant d'une certaine constante unique ^ Aa, AJ, Aa, AS les accroissements des constantes, en passant à une droite infiniment voisine , faisant partie de la même série : la plus courte distance d de ces deux droites sera, d'après une formule élémentaire connue ,

AaA6 — A^ Aa

Or, on a

\/Aû'-hA6'-h(flA^— bàay

Aa zn da -^ -(fa H i=d^a -t- .

Ab = db-^^d^b -^-^dH^

Aa= fi?aH--//2a H ^d^0L+,

îl en résulte

Atf A(? — A^Aa = {dad^ — dbdx) -f- |(rffl r/' 6 + r/6 d^a — dbd^oL — doid^b) -\-

Or, si le premier terme dado — dbdct n'est pas nul, le dénominateur de à étant un infiniment petit du premier ordre, et son numérateur du second, d sera du premier ordre. Si, au contraire, on a constamment

dad^ — dbda. =. o,

le numérateur devient d'un ordre plus élevé de deux unités, parce que l'ensemble des termes du troisième ordre n'est autre chose que la moitié de la différentielle de dadë — dbda^ et cette dernière quantité étant constamment.nulle, ^a différentielle Test aussi.

D'où résulte cette conséquence remarquable , que, si la dislance de deux droites consécutives , prises dans une série quelconque ^ est généralement d'un ordre infinitésimal supérieur au premier, elle est au moins du troisième.

Le théorème que nous venons de démontrer est soumis, comme presque tous les autres, à des exceptions très-particulières 5 il est fondé sur des développements généralement possibles, mais qui, pour certains points singuliers, pourraient devenir illusoires.

Application aux tangentes à une courbe,