Les équations générales d'une normale sont

petq désignant les dérivées partielles — ,» — ,•

Si maintenant on conçoit une courbe quelconque sur la surface en établissant entre x'j y\ z' une seconde équation au moyen de laquelle ces trois coordonnées dépendront d'une seule d'entre elles , ou de toute autre variable indépendante, on peut se proposer de déterminer cette courbe de manière à ce que la plus courte distance de deux normales, correspondantes à des valeurs infiniment voisines de la constante, c'est-à-dire à deux points infiniment voisins de la rourbe , soit un infiniment

petit du troisième ordre, la distance des deux points étant du premier.

Dans le cas actuel , on aura

et Téquation dadë — db da devient

• {dy 4- qdz')dp = [dx''hpdi')dq.

En remplaçant dz par sa valeur pdoif -+- qdy •, et formant les différentielles dp^ dq d'après les dérivées par-

tielles -^^^ S^ï^'' X7T q^^ ^^"s désignerons par r, s, r, cette équation devient

-^ pqr ^ s{\-\- p^) = O.

Cette condition, jointe à celle de la surface, détermine les courbes jouissant de la propriété demandée , et que 1 on nomme lignes de courbure de la surface. Nous reviendrons sur ce point quand nous aurons étudié les équations différentielles. Nous nous bornerons à remai^

dr' quer que l'équation donnant deux valeurs pour -^j il y

a en chaque point de la surface deux directions jouissant de la propriété en question .