CHAPITRE XIIL
PLAN OSCULATEUU D'uNE COURBE. CERCLE OSCULA- TEUR. ANGLE DE CONTINGENCE. ANGLE DE TORSJON. SURFACE POLAIRE. CENTRE DE LA SPriÈRE OSCU- LATRICE. CONTACTS DES COURRES A DOURLE COUR- BURE. DÉVELOPPÉES DE CES COURRES. CONTACTS DES SURFACES.
273. Plan osculateur. — On appelle ainsi la limite vers laquelle tend le plan qui passe par trois points d'une courbe , qui teadent indéfiniment à se réduire à un seul. Soient od ^y\ z' les coordonnées d'un point quelconque de la courbe, x'+ Ax', j^-^Aj'^ z'-^t-Az' celles d'un point infiniment voisin, et a:'-t- 2 Aj^'-f- A'y, y+^Aj'-h A'j', z'-i- ^Az'-ifA^z^ celles d'un troisième point de la courbe, les ditFérentielles étant déterminées d'après les accroissements égaux d'une variable quelconque, dont x' ^ y\ z' sont des fonctions déterminées.
Tout plan qui passe par le premier point a pour équation
« — 8' = fl (.r — y; H- ^ (/ — j') ;
pour qu'il passe par les deux autres, on aura les conditions
A2'=r/lAx'4-*A/, A'z'=«A'^'.4- b^'y'-y
et pour le plan limite ces équations auront lieu entre les différentielles
ilx\ dy\ dz', d'x', d^f, d}z'.
CALCUL. D£S DKMviES VT DES DirFÉaENTIKLLES , ETC. SSp
Les valeurs de a et 6 tirées de ces deux équations, et reportées dans celle du plan , donnent Téquation du plan osculateur, qui est
{x — a:') [dy d'z' -^dz' tt' y) -^ {y —y) {dz'd}x''--dx'd'7f) 4- (z — z'){dj^d'y — dyd'a/) = o.
274. Si Ton cherchait la limite des plans passant par la tangente en un point d'une courbe , et par un autre de ses points tendant vers le premier, il est facile de voir qu^on retrouverait le plan osculateur.
En effet , les équations de la tangente sont
el le plan dont Téqualion est
contiendra cette tangente, si Ion a
I = a -;— , -f- b -—, > 011 dz' = adx' -h ^^r', dz dz
ou , prenant t pour variable indépendante ,
dz' dx , dy dt dt ^ dt
Pour que ce même plan passe par un point ayant pour coordonnées x'-h-Ax', y'-f-Aj', z'-hA^', il faudra que l'on ait
A 2'= «Ajc'-f- h tkdy ,
Mais on ne pourra ,. dans celte équation , négliger les termes dit second ordre, parce que tous ceux du premier disparaissent, en vertu de Téquation précédente. En effet, si l'on développe les différences, et qu'on se
SgO LIVRE H.
borne au second ordre , on aura
dz' d^z' At'
dt dO a '
dx' d^x'àt'
Ax' = -— ài-i- —- h....
dt dt^ 2
Substituant dans l'équation ci-dessus, les termes qui
renferment At au premier degré disparaissent , et il reste,
en négligeant les infiniment petits du troisième ordre , et
j. . • Ar'
divisant par — »
i/'z' d^j/ dW
-j^ = a — — - H- b — -=~ , ou f/' z' = ad'^x' 4- hd'^y' , €Ur . ar dt*
Les coefficients aelb sont donc déterminés par les mêmes équations que précédemment, et Ton trouve réquation du plan osculateur.
On trouverait encore le même plan en cherchant la limite de celui qui passerait par une tangente et une parallèle à la tangente infiniment voisine.
276. Angle de contingence. — On appelle ainsi l'angle de deux tangentes infiniment voisines , ou, pour parler rigoureusement, la différentielle qui correspond à cet angle infiniment petit 5 c'est-à-dire une quantité dont le rapport à Taccroissement de la variable indépendante soit égal à la limite du rapport de Vangle des tangentes à ce même accroissement. Ces tangentes n'étant pas dans un même plan, leur angle est celui de deux droites qui passeraient par un même point et leur seraient parallèles. Soient a, i, c les cosinus des angles formés avec les axes par la première tangente ,eta-hArt, J-hAft, c-hAc
ceux qui se rapportent à la seconde ; le cosinus de Fangle a> (le ces deux directions sera
cos w = a' •+- 6' -H c' -H fl A a -h ^ A 6 -I- c Ac = i -haàa -\- bàb -h càc.
De l'équation
a' -+- à» -4- r» = I on tire
2flArt-4-26A^-+-2cAc-h A<ï' -(- A^'-h Ac' = o;
donc
. ,» Aû= -h A^'4- Ac»
1 — COS w = 2 sm* - =r .
Si Ton remplace sin co par &), et les différences par les diflercHtielles, w sera ce que nous avons appelé Tangle de contingence, et Ton aura
»» = da- 4- db^ -{- dc\ ou ta = ^ da^ -^ db^ -+- dcK
On pourrait encore établir cette formule par des considérations géométriques.
Menant MB (fig- 92) parallèle à la seconde tangente, et prenant MA = MB = i , on a
arc AB = w.
Projetant le triangle rectiligne MAB sur les trois axes, et appelant i, fz, v les angles de la direction AB avec les directions positives de ces axes , on pourra écrire
£/a==6)Cos>, db = (ù COS II f de =z (ùcosv,
da
^ = ^ da^-h db^ -h dc\ cos X =
sj dà" '\' db^ -^ dc^
db de
cos fA = . — t cos V =
si dà" -h db^ -Jf dc^ \J da^-^db^ -+- dc^
Cela fait connaître T angle de contingence et les cosinus
des angles de la direction prise du point M vers le centre de courbure.
Or on a
dx dy dz
ds ds ds
d*où l'on tire
dsd'^ X — djcd * j „ dsd^Y — dyd ' s
da=: — , db=^ -^ ^, ,
ds^ ds^
dsdH^dzd^x
dc=:
ds^
substituant ces valeurs dans celle de w, et observant qu'on a
ds* = fir» -f- r/j» -+- dz^y
dsd^s = dxd\x H- dyd'^y -f- dzd'z, on obtiendra
« = ^ yj d'^x-' H- d^y^ -h d^z"" — d's\
On peut faire disparaître d^s de cette expression , en tirant sa valeur de l'équation précédente : on trouve ainsi , toute réduction faite,
276. Si, au lieu de chercher l'angle de deux tangentes en des points M, M' infiniment voisins [fig^ gS), on cherchait l'angle de la corde MM' avec la corde M'M'^, en supposant les deux points M' M'' correspondants aux accroissements égaux d'une variable quelconque t^ on trouverait la même expression pour l'angle TM'M'^ En eflfet, les cosinus des angles de MT avec les axes sont les
rapports -j^^,. -^ijjjp, ^jjjjjp, et différent de quantités mfini-
CALCUL DES DKRIVÉES ET DES DIFFERENTIELLES, ETC. SgS ,
j , ,. . , (Le dy dz ^
ment petites, de leurs limites respectives — > —--i -t-- Le
changement Aete.\xt--\-dL donnera donc les mêmes accroissements dans les uns et les autres, en négligeant les quantités d'un ordre supérieur à celui des accroissements. Il est donc inutile de recommencer ici les calculs précédents^ et la valeur de TM'M" aura la même expression que celle de l'angle de contingence «.
277. Cercle osculateur. — Dans les courbes à double courbure , comme dans les courbes planes , nous appellerons cercle osculateur la limite du cercle qui passe par trois points infiniment voisins \ ce cercle limite se trouvera évidemment dans le plan osculateur.
Soient M [fig- 94) un point quelconque de la courbe; M', M'' des points qui s'en approchent indéfiniment; 0 le point de rencontre des perpendiculaires menées par M, M" à ces deux cordes, dans le plan qui les contient : M'O sera le diamètre du cercle passant par M , M', M''. L'angle O a pour mesure l'arc de cercle MM'M'' divisé parle diamètre M'O. Or on peut substituer à cet arc celui de la courbe, ou 2i2^5 H- A* 5.
On aura donc M'O = -^ en négligeant A*^.
Mais l'angle O est égal à TM'M'' qui peut être remplace par l'angle de contingence w relatif à l'arc Aj». On aura ainsi, en désignant par R le rayon du cercle osculateur,
R = — ; d'où, en remettant pour o) Tune ou l'autre des
deux expressions données précédemment , on tire les formules rigoureusement exactes
ds^
394 LIVRE ir.
et
yl{4yd^r ~ dzd*ry-h{d£d*x-^drd*e)*'{-{dxd*j'-drd*xy
278. Angle de torsion, — On appelle ainsi Tangle de deux plans osculateurs consécutifs, ou, pour parler plus exactement, la différentielle correspondante.
Soient a, 6, y les angles que fait avec les a'xes la normale à un plan osculateur^ on aura, d'après réqualion de ce plan, oc^ y^ z étant les coordonnées du point de la courbe,
dyd^z — dzd^r ces a = — — 9
dziPx — dxd} z
ces 6 = —
dxd} y — dyd^x
en posant
\^=zs^{dyd^z — àtd^y)^ -h {dzd^x ^ dxd^ z)^ ^{éb^d^r -dyd^xy.
La normale au plan osculateur infiniment voisin fera avec la précédente un angle égal à celui des deux plans ; si on le désigne parU, on aura, par un calcul semblable à celui qui a donné l'angle de contingence,
U = ^(r/.cosa)'-f-(r/.cos6)'-h(r/.cos7)^
Mais il faut l'obtenir en fonction des différentielles de x, y, z 5 pour cela, posant
dytPz — dzd^y = X, dzd'x — dxd^z = Y, dxd^y — dyd^x = Z, d'où
dyd'z — dzd'y = rfX, dzd'x — dxd'z == dY, dxd^y — dyd^x =zdZ,
CALCUL DES DÉRIVÉES ET DES Dl FFÉEENTI ELLES , ETG SqS
on trouvera
•-hrfZ*)-
-(XdX^.
YdY-hZrfZ)«
X«-hY»-HZ«
-ZdY)*-h(ZdX —
XrfZ)'-f-
(Xi/Y-
Mais
on a
YdZ
ZrfX
— XrfZ
Xe/Y
— Yf/X
=: fLc{dyei^z — rf^zrf-^j) -f- dx[<Pz^x — d' xd^z) ■+ dz(d^xd^X — iPyd^x).
Donc
dx{d*fd's — d'z^j^)-{-dr{d*sd*x^d'xd*s)-i-dg{d*xJ'x-d*xd*x) (^dyd* z — dzd*ry '^-(.dzd^x -^ dxd* zY -^{dxd^r — dxd^xf
Il n'y a pas lieu de représenter cette seconde courbure par celle d'un cercle qui se présenterait aussi naturellement que le cercle osculaleur qui mesure la première.
On trouverait la même expression, en négligeant une quantité infiniment petite par rapport à elle-même, en considérant trois côtés consécutifs d'un polygone infinitésimal inscrit , et chercliant l'angle que le plan des deux premiers fait avec le plan du deuxième et du troisième.
279. Si le rayon de la première courbure est infini pour tous les points d'une ligne, tous les côtés du polygone infinitésimal inscrit dans cette ligne sont dans le prolongement les uns des autres, et, par conséquent ^ cette ligne est droite. La condition pour qu'une ligne soit droite pourrait donc s'exprimer par Téquation différentielle
(dyd^z — dzd^xf -h [dzd^x — dxd}zf -4- [dxd^y-— dxd^xY= o,
d'où l'on tire les trois équations
djrd^ z — dzd^y = o , dzd} x — dxd^ z = o , dxd^y — dyd^ ^ = o
ou encore
dz dx dy
d.—-=:o, d. — = o, d.-' = o; dy dz dx
d'où Ton conclu l
dx dy
a eib étant des constantes arbitraires. Et comme a et b sont les dérivées de az et iz, il suit d'une proposition démontrée précédemment , que les fonctions x et y ne peuvent être que de la forÈDie
X =^ «z -h a, y =: bz "h ^,
a et S désignant des constantes arbitraires. On retombe ainsi sur les équations générales de la ligne droite.
Si la seconde courbure est nulle, tous les plans osculateurs se confondront , et la courbe sera plane. La condition pour qu'une courbe soit plane est donc exprimée par l'équation différentielle
dx { d^yd^ z — d* zd^y ) -\- dy{ d^ zd? x — d'^xd^ z ) -h dz[d'xd^ y — d}yd?x) = o,
équation qui se réduit à
d^ycPz — d}zd^ / = O,
si Ton prend x pour variable indépendante.
On vérifie bien facilement que celte relation existe pour tous les points d'une ligne située tout entière dans un plan .
280. Surface polaire. — Si Ton conçoit un polygone infinitésimal inscrit dans une courbe à double courbure, et qu'on élève des plans perpendiculaires au milieu de ses côtés successifs, la ligne d'intersection de deux de ces plans consécutifs sera le lieu des pôles du cercle passant
par les trois sommets correspondants du polygone ; et sa limite sera le lieu des pôles du cercle osculalcur, vers lequel tend le cercle variable.
Il est facile de reconnaître d'ailleurs que Ton trouverait la mênie ligne en cherchant la limite de rinlerseclion de deux plans normaux consécutifs.
Si l'on agit de la même manière en tous les points de la courbe donnée, on obtiendra une suite de lignes polaires qui formeront une surface qu'on nomme surface polaire. Elle n'est autre chose que le lieu des centres des sphères limites de celles qui ont trois points infiniment voisins, communs avecja courbe. Cette surface est développable -, car elle est la limite d'une surface qui se compose d'éléments plans indéfinis compris entre les deux intersections successives de trois plans consécutifs. De plus, ces éléments plans ont pour limite de leurs directions, celle des plans tangents : donc tous les plans normaux à la courbe sont tangents à sa surface polaire, et cette dernière peut être considérée comme la surface enveloppe de ces plans.
281. Sphère osculairicc. — On désigne sous ce nom la limite des sphères qui ont avec la courbe quatre points communs qui se rapprochent indéfiniment. Le centre de la sphère passant par quatre sommets consécutifs du polygone inscrit, est à la rencontre des deux droites suivant lesquelles se coupent les trois plans perpendiculaires aux trois côtés consécutifs du polygone \ c'est le point commun à deux droites polaires consécutives.
Les centres de ces sphères successives déterminent un polygone qui tend vers une courbe dont les droites polaires sont les tangentes; cette courbe est donc l'enveloppe des polaires. Elle est aussi l'arête de rebroussement de la surface développable, lieu de ces polaires, c'est-à-dire de la surface polaire.
282. Équation de la surface polaire, — Cette surface est le lieu des intersections successives des plans normaux, ou encore des normales à la courbe dpnnée. Or Téquation d'un plan normal quelconque est
Si l'on donne à la variable indépendante f , dont on regarde x\ y', z! comme des fonctions connues, un accroissement infiniment petit A/, et que Ton considère le plan normal, au point voisin qui en résulte, son équation se composera des mêmes termes que la précédente, plus les termes résultant du changement des quantités a/, 7^, z'y doJ ^ dy\ dz'. Les premiers termes s'annulent pour les points communs aux deux plans, et il reste, en négligeant ceux du troisième ordre et passant aux diflerentielles,
(2) (a:~x')rf^a/-+.(j— y)^r'-f-(2 — z')rf>s'— ^/»=:o.
Les équations (i) et (2) ont donc lieu entre les coordonnées X, j^, 2 de tous les points d'une des génératrices de la surface polaire.
Donc on aura 1 équation de la surface polaire, en éliminant x', y^ z' entre les équations (i), (2) et celles de la courbe donnée.
283. Centre de la sphère osculatrice, — Ce centre est la limite du point de rencontre de trois plans normaux consécutifs , ou de deux droites suivant lesquelles se coupent les deux premiers et les deux derniers de ces plans. L'une est représentée à la limite par les deux équations (i), (2)5 l'autre par ces équations augmentées de leurs diflerentielles. Pour la limite du point commun aux deux droites, les différentielles des équations (i), (2) par rapport à x'^y'^ z\ dx\ . . . , seront donc nulles, et il en
CALCUL DKft DÉ&lVisS ET DES DIFFKRKNTIBLLKS , ETC. 899
résultera cette nouvelle équation
(3)(ar — x')£i-'x'4-(j— j')^y+(z — 8')^»^'— 3rf*'^f' = 0.
Les équations (i), (2), (3 ) donnent le centre de la sphère osculatrice correspondante au point [a/^j^z^)] et l'on aura les équations du lieu de ces centres , ou de Taréte de rebroussement de la surface polaire, en éliminant x',j^, z' entre ces trois équations et celles de la courbe donnée ^ d'où il résulte deux équations entre x^y^ z.
284. Il est facile de reconnaître , au moyen des équations (i), (2) , que tout plan normal à la courbe est tangent à la surface polaire. En effet , considérons sur cette dernière un point quelconque infiniment voisin de celui qui a pour coordonnées x^ y^ z et qui se trouve dans le plan normal déterminé par Féquatîon (i). Soient considérés dx^ dj^ dz comme les différences de leurs coordonnées : les équations (i), (2) sont satisfaites par les coordonnées du premier point; et elles le seront par celles du deuxième , si l'on considère le plan normal infiniment voisin qui passe par ce deuxième point.
Or, si l'on donne k x ^ y^ z^ x\ y\ z' les accroissements correspondants dx ^ djr, dz^ dx\ dy\ dz' dans Téquation (i), il restera, en vertu de l'équation (2),
dxdj/ -H dydy 4- dzdz' = 0.
Mais la droite qui joint les deux points pris sur la surface polaire, et finit par lui être tangente, fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx^ dy^ dz\ l'équation précédente prouve donc que cette droite est perpendiculaire à la tangente à la courbe au point (ar',j^', ^'), et que, par conséquent, elle est située dans le plan normal, au même point de celte courbe,
4oO LIVRE II.
puisqu'elle a déjà le point (x,/, z) commun avec ce plan ,
285. Centre de courbure. — Le centre du cercle osculateur, ou le centre de la première courbure, se trouve dans le plan osculateur, et sur la droite polaire du point que Ton considère sur la courbe. On aura donc ses coordonnées en cherchant les valeurs de x^j^ z qui satisfont aux équations
[x — x') iPx* -+- (j— j') d}y' -+- (z — z') d}z' = ds'\
(j: a:'){(iyd'z''- clz'd'f) 4- {y—y')[dz'd''j^'~-da/d'z')
-H {z — z'){dx'd^y — r// d'x') = o.
Ces valeurs de x^j^ z sont données par les formules suivantes :
z ~ z' = ^ [r// (ûfr' d^ ^ — dz' d^y)^ dx' [dz' d' x' — dx' tl^ a')],
y—y = ^ [dx'{dx' d^y — dy d^x') — dz' (dy d^ z'--dz' d^y)],
^ — y .-= ^ [^z' (dz d^ x' — dx' d'z') — dy [dx' d*y — dy d^ x' )], R désignant le rayon de courbure, dont la valeur est
as'*
V^ (4r'<i' «' — rf«'d V )* -t- [dz'd^ x' — dx'd} «')*-!-( dx'd^y' — dj'd}x'y
Si , au lieu de déterminer les coordonnées du centre de courbure, on voulait les équations du lieu de ces centres, il suffirait d'éliminer jc', j' ^ z' entre les trois premières équations et celles de la courbe donnée ; les deux équations résultantes entre x,j^, z seraient celles du lieu demandé.
