partie se présentera sous la forme - pour /w = — i

C| étant une coustante arbitraire-, on aura ainsi constamment

af^tlx = h C,.

La première partie qui devient - quand on fait m = — i,

a une limite déterminée, égale à Ix — la; et si Ton fait ■Cl — l,a = C', Cy restant arbitraire , on aura

/x-'r/,r = la: -\- C\

ce qui s'accorde avec la troisième formule du tableau préréden t.

308. Intégration par décomposition. — La différentielle d'une somme de fonctions étant la somme des différentielles de ces fonctions , il s'ensuit qu'on aura Fiotégiale générale d'une somme de différentielles, en faisant )a somme de leurs intégrales, et y ajoutant une constante arbitraire, si Ton n'en a déjà ajouté dans les intégrations partielles.

On pourra donc intégrer une expression différentielle, si l'on peut la décomposer en plusieurs autres dont on connaisse les intégrales. Quelquefois la décomposition n'est employée que pour ramener à des expressions plus simples, que l'op cherche ensuite à intégrer par d'autres procédés.

Le nombre des parties dans lesquelles on décompose la fonction donnée peut être infini ; c'est ce qui arrive quand on la développe en série: dans ce cas il faudra toujours faire la somme des intégrales des différents termes; mais il y a quelques précautions à prendre relativement à la convergence des séries, et nous reviendrons plus tard sur ce point.

309. Intégration par substitution. — Si Ton a a intégrer F [x) Jx, et que l'on posea: = y (2), d'où dx^=tf* (z)dz^ l'expression donnée devient Y[<f[z)'\^'[z)dz\ et la limite de la somme des valeurs de celle-ci sera la même que la limite de la somme des valeurs de F [x) dx , pourvu que les valeurs extrêmes se correspondent dans ces deux sommes. Donc on aura

pourvu que z^^ et ^i soient déterminés par les équations

On conclut de là que l'intégrale définie / F (x) r/.r -f- C peut être remplacée par

F[(p(z)]tp'(3)r/2 4-C.

On peut encore s'en assurer en observant que la fonction , dont la dérivée par rapport à x est F (a:) , doit avoir pour dérivée par rapporta z,

F(x),'(«), ou F[ç(z)],'(2).

La question est donc ramenée à trouver une fonction dont la dérivée par rapport à z soit la fonction

La relation a: = a>(z) étant arbitraire, on parvient souvent à la déterminer de manière à rendre la seconde intégration plus simple que la première.

Ainsi, par exemple ,1 F(j:-|- a) dx devient, en po-

saut x -\- a =^y,

OU, en changeant la lettre j^ en x, on a donc

/dx — ;9 on pose x=iay^ d'où

dx = ady^ on a

-= î = - I 5 = - arc taDgr -h C = - arc tang - -h L.

Soit maintenant

on aura ' ^

Voici encore quelques exemples :

fe'F{e')dr, e^ =zy, e'dx=zdj^, Çe'¥ {e') dx = Cf {y)dr, j C08x¥ [sinx)dXf sinr=r=^', / cosa:F(8inx)<ir= 1 F(y)<^ Jf(1x)Ç, lx=.r, îj = 4r, jF(lx)Ç=jFU)^r.