Supposons maintenant que l'équation

ait à la fois des racines inégales et des racines égales 5 soit a l'une quelconque de ces dernières , et

le polynôme <f [x) n'admettant plus le facteur [X'-o)\

posons

^ V(') (x — «)» (x--«)«-' ^ (x— «)— ^ ^x^ii ^ p(r)'

OU y en multipliant par^ (x) ,

('>^ * F(') = Açp(.r)-f.A,(T-^û)ç,(x)-f.A,(x-a)«ç,(x)-H... ^ ^ ( -H:A„..(x^«)'-.y(x)-hP(T~«)-..

Le nombre des coefficients du polygone P, ajouté au nombre des constantes A, Ai,..., A„i, est égal au nombre des termes de cette équation , et il s'agit de les déterminer de manière à la rendre identique. Si Ton y fait X = a, on obtient

d'où l'on tirera la valeur de A . Dîfférentîant Téquation (2) et faisant ensuite a:=:a, il vient

r{a) = Aff' (a) -h A,<f (a).

Diflférentiant successivement la même équation et faisant ensuite .r = a , on introduira à chaque fois un nouveau coefficient, etlon pourra ainsi , au moyen de m — 1 diffierentiations, déterminer A, Ai,..., A„i. Les termes provenant de P (.r — a)"* disparaîtront tous par Thypothèse x = a.

Cherchons la formulé générale qui représente toutes ces équations successives, et, pour cela, différentions /? fois l'équation (2).

Pour savoir ce qui reste de chacun des termes quand on fera x=^a après la diflerentialion , considérons le terme géliéral A„ {x— a)" y (x). On trouvera' sa dérivée'de l'ordre p au moyen de la formule connue

434 I.1VK£ III.

dans bquelle les exposants de Q et R sont des indices de diflerentiation. On aura ainsi

Si p est pins grand que n , les premiers termes auront des exposants négatifs, et on devra les omettre parce que leurs coefficients seront zéro ; cela tient à ce que quand (x — a) sera affecté de l'exposant zéro, il donnera zéro pour dérivée.

Voyons maintenant ce que devient le second membre de l'équation (3) quand on y fait x = a. Si Fou a p <^ n, il se réduit à zéro. Si l'on a ^ = /i, il se réduit à son premiei* terme n(n — i). . . 2. i f (a). Enfin, si l'on a ^ ]> n , il faudra se borner à prendre le terme qui en a p — n avant lui , parce qu'il aura zéro pour exposant; les précédents auraient donc un exposant négatif et doivent être omis , comme nous l'avons dit; et les suivants deviendront nuls quand on fera x = a.he second membre de l'équation (3) se réduit donc alors à

Donc l'équation (2), différentiée ;? fois en supposant p<Cm^ donnera, pour a; = a, en observant qu'il faut s*arrêter à /*=/?,.

Telle est Téquation générale qui , eu donnant à p toutes les valeurs entières depuis o jusqu'à m — i inclusivement,

fournira /w équations, d'où l'on déduira successivement chacune des quantités A, A,,..., A„t. Ces équations sont les suivantes :

F(«)=Aç,(a),

F'(«)=Ap'(a)-+-A,pC«),

F-'(a) = Aç>''(a)-+-2A,/(i,)-H2.iA.f(a),

r"{a) = K^'^{a) -+-3A.f''(flj-+-3.aA,9'(«)-u3.!i.iA,ç)(a)

La première équation donne la valeur de A, et ce sera la seule inconnue si m = 1 5 la seconde fait ensuite connaître immédiatement Ai, la troisième A,, et ainsi de suite jusqu'à A,„i : et il n'y aura jamais impossibilité, parce cpie le coeflScient du dernier terme n'étant jamais zéro, on trouver^ toujours une valeur finie pour chaque inconnue.

D: reste à prouver que réciproquement, si Ton prend pour A, A,,..., A„i, les valeurs ainsi déterminées , on aura satisfait à l'identité (a). En effet, ces valeurs sont tirées des équations (5), qui expriment que l'hypothèse x = a annule le polynôme suivant et ses m — i premières dérivées,

¥{x) — A<p (x) — A, (as —o)^{x)— A, (j: — a)' y (or) . . .

Donc, d'après un théorème connu, ce polynôme est divisible par (x — a)"* et peut être mis sous la forme P (or — û)"*, P étant un polynôme entier qu'il sera facile de connaître. Donc les identités (2) et (1) seront satisfaites.

Cela posé, on pourra traiter d'une manière semblable

la fraction —7 — r relativement à une autre racine multiple,

(p(jr)

si elle en renferme^ et continuer ainsi jusqu^i la dernière.

F(x) La fraction ^ ; , sera donc décomposée en fractions dont

les numérateurs seront indépendants de.r, et dont les dénominateurs ne renfermeront respectivement qu'un seul facteur premier de f(x)^ élevé à une puissance égale ou inférieure au degré de multiplicité de ce facteur.

De plus , il est facile de reconnaître que cette décomposition ne peut se faire que d'une seule manière; car si les constantes relatives à la racine a, par exemple, étaient susceptibles de plusieurs valeurs, on devrait les trouver toutes , soit que le calcul fût fait d'abord pour cette racine, ou pour toute autre. Or nous avons reconnu que les constantes A, Ai,..., A^i ne pouvaient avoir chacune plus d'une valeur. Donc il n'est possible de décomposer la fraction que d'une seule manière en fractions simples delà forme proposée.

On conclut de là que pour les racines autres que la première a, il ne sera pas nécessaire de recommencer les calculs sur le polynôme P et les suivants. D suffira de changer dans les équations (5) les quantités m, a et 9 (x), en celles qui se rapporteront à toute autre racine de l'équation/*( a:) = o; car c'est ce que Ton obtiendra t en commençant successivement par chacune d'elles.

314. Les calculs précédents exigent que l'on forme le polynôme ç (x) qui est le quotient de la division dej'(x) par (x — a)"*. On peut se dispenser de faire celte opération, et exprimer 9 (a), 9' («),..., y"*"* (û), au moyen des dérivées de la fonction y' (j:) elle-même : on les substituera ensuite dans l'équation générale (4) ) de laquelle se tirent toutes les équations (5). Or, si l'on différenlie les deux membres de l'équation

ils se réduiroiità zëroparThypolbèsej: ^a, si le nombre des difTérentialions est inférieur à m. Supposons4e donc égal am-^p^ p étant un nombre entier et positif quelconque.

II est inutile de répéter ici ce qui a été dit au sujet de TéquatioD (3 ) , et l'on aura, en faisant x = a dans les dérivées de l'ordre ni^p,

f'^P (0)-= {m -h p) {m + p-^i). . .(p ^i) ffP (a); d'où

foP (a) = ~ ^— ^ •

^ ^ {m-hp){m-{-p-^j).,.(p-+-i)

L'équation (4) devient, par là ,

•(m-h;;— 2)...(/^-+- i) f'mim— i)...(^-hi)'

Si l'on donne à p toutes les valeurs depuis o jusqu'à m — I , ou aura , pour déterminer A, A , , . . . , A,„t , les m équations suivantes :

F(«) = A ^LA'Li

^ (m-)-i)...2 ' ni(in — i) ... i

^ ^ (2m— i).. .m • (2WI — 2;...m ^ ">-• jï^

315. Les calculs précédents peuvent s'appliquer aux racines imaginaires égales, aussi bien qu'aux racines réelles. Mais les réductions entre les termes homologues relatifs aux racines conjuguées ne donnent pas immédia-

438 LIVRK III.

tement des résultats aussi simples que le mode de décomposition que nous allons faire connaître.

Soient a±ê^ — i deux racines multiples de Tordre m de réquationy(j:) = o, de sorte que l'on ait

/(x)=[(a:-«)' + 6']-^(x^ On posera

■•■^li'

ou

= (Ar+.B)p(x)

. -^(A«,x-+:B„^,)[(T-a)«-h6«]'»-ç,(x)-hP[(*-a)« + 6'r-

Le nombre des coefficients indéterminés est égal au nombre des termes qu'il faut égaler départ et d'autre, en ayant égard à ceux du polynôme P. Maïs nous nous proposons ici de déterminer seulement A, B, Ai, Bi,..., A;„«i, B„,i. Or, si l'on fait j: = a±:j3v/ — i dans la dernière équation et dans ses dérivées successives , chacune des équations ainsi obtenues se partagera en deux autres , à cause delà quantité imaginaire \/ — i ; et, de plus, il s'introduira dans chaque nouvelle équation deux nouveaux coefficients inconnus. Ainsi, la première déterminera A et B, la seconde Ai et Bi, et la /71**'"*, A,„»i et B«i .

Ces mêmes formules s'appliqueraient aux autres racines imaginaires égales, en changeant convenablement

On pourrait encore, comme dans le cas des racines réelles égales, se dispenser de former le quotient (p (.r), et faire dépendre sa valeur et celle de ses dérivées, pour X = a±Sy — I, des valeurs que prennent, dans la même hypothèse, les dérivées de f{x) 5 mais les formules sont moins simples que dans le ras précédent.