Cela posé, revenons à Tintégration de la fonction

La décomposition de la fraction -jr, — rv d'après les procédés qui viennent d'ôtre exposés , conduira à Tintégration d'expressions ayant respectivement Tune des formes suivantes :

Aiix Kdx (Ax-hB)dx (Aj:-+-B)cte

Examinons-les successivement.

i^, La première donne immédiatement

Adx

= Al{jt — fl)-|-C.

2°. On trouvera, pour la seconde, Adx A

3®. Pour la troisième, on la décomposera comme il

suit :

{Ax-^B)dx A(j: — a)d!g (Aa4-B)rfx

La première de ces deux nouvelles fractions ayant pour numérateur le produit de A par la moitié de la différentielle du dénominateur, est la différentielle de

Pour intégrer la seconde, on posera

X — a = 6 z , d'où dx zzz^dzy

et elle devient

Aa-f-B dz

ce qui est la difTéreutielle de

Aa^-B

— arc tang z.

4°. Quant à la dernière expression

(Ajr + B)rfjr [(x-a)'-h6']'»'

on la décomposera ainsi :

La première partie est la différentielle de

T> • / 1 j *• (Aa4-B)^j:

Pour intégrer la seconde partie ~ , > on posera

X — a = 6z , et elle deviendra ;i , • t-^ r \ tout

sera donc réduit à intégrer j—^ r ; or on a identiquement

donc

/^z r dz r z'dz

Mais l'intégration par parties donnera

substituant dans la précédente , îl vient

/' ds __ « 2n — 3 Ç j^ rf« (r» -h i)» "" ( a n — 2 ) ( «• H- i)—' ~^Qn--a J («*-»-i)'— ''

L'intégration étant ramenée à une autre semblable , mais dfiHîs laquelle Pexposant de 2'--!- i est diminué d*une unité , on parviendra , par une suite de réductions

analogues, à Tintégrale de ^ " 1 qui est arc tang z,

On obtiendra ainsi la formule suivante :

[ an--3. (2i.-3)(2ii~5) -1 .

(2n-3)(2n — 5)...3.i -h ; fy t{ 7— arc tang z-ht.

Si Ton multiplie cette expression par ^^^ » et qu'on remplace z par — ^ — > on aura l'intégrale indéfinie de

on connaîtra 5 par conséquent, celle de la fonction proposée

(Ax-hK)^/^.

[(a: — aj'-hê^]"

Ainsi , au moyen des méthodes qui viennent d'être exposées, on pourra intégrer toute expression algébrique rationnelle.

44^ UVBK III.