INTÉGHATION DES FONCTIONS ALGÉBRIQUES IRRATIONNELLES

317. Radicaux du second degré, — II u'y a quun Irès-petit nombre de fonctions irralionnelles que Fou sache intégrer sous forme finie. Nous allons examiner celles dont l'intégration peut s'effectuer avec une certaine généralité.

Nous commencerons par les fonctions où la seule quantité irrationnelle est un radical du second degré, sous lequel se trouve un polynôme du second degré : du reste, ce radical peut être combiné algébriquement avec x, d'une manière quelconque.

Comme on peut faire passer hors du radical- le coefficient du terme qui renferme x', nous pouvons représenter la différentielle proposée, par

F ( X, ^a-\- bxàzx^) dx.

Pour intégrer cette expression , il suffira de remplacer x par une fonction d'une autr^ variable telle , que les quantités X, dx et ^a -h bx ± x* soient rationnelles ] car on retombera dans la théorie précédente, qui donnera toujours le moyen d'effectuer l'intégration.

1°. Supposons que x' ait le signe -h sous le radical. On pourra poser

^a -^ bx -^ x^ =: z -^ X',

d'où

a -\- ^x = 2 30? -f- z% bdx = 'i.zdx 4- ^xdz -f- 2 zdz,

z* ^ a 2(3* — ^z -h « ) X = -j » ax = 7T T":; — '

La différentielle proposée devient donc rationnelle par cette transformation. On aurait encore pu poser

sja -\- bx -h x^ = ^ a '\^ xz\ il en résulterait

è 4- or = 2z ^rt -f- xz% dx =z zdz \fâ 4- z^dx -f- ^xzdz, ^zJa — b z^Ja — bz -h Ja ,

r — «' La différentielle proposée devient donc encore rationnelle^ mais cette transformation aurait l'inconvénient d'introduire des imaginaires si a était négatif.

On peut encore employer une troisième transformation quand les racines du trinôme a^-hbx-hx^ sont réelles; ce qui aura toujours lieu dans le cas où la transformation précédente ne peut se faire en quanti tés réelles ►

Soit

rtt -h bx ■+- x'^ ==[x — a ) (a: — 6 ) ,

a et 6 étant réels \ posons

y û -^ bx -^- x^ = (x — a ) z , on en tirera

X — 6 = ( j: — a ) z% dx = z^ dx -•\- 2, {x — a ) zdz y

6 — az* , 2z(S — a) , X ==. -» ax z= -—-^ r-"Z,

444 LivftE m.

a^. Dans le cas où x* serait afieeté du signe — sous le radical, on ne pourrait employer la première de ces trois transformations. On pourrait employer la seconde si a était positif. Enfin , si a était négatif, les racines du trinôme a-k-bx — x* seraient réelles , sans quoi le radical sja + hx — x* serait toujours imaginaire; alors on emploierait la troisième transformation qui n^ exige que la réalité des racines du trinôme.

318, On pourrait encore rendre rationnelle une fonction algébrique qui renfermerait deux radicaux de la forme

pour cela on poserait ,

y a -f- X = 2 , d'où

j?=î' — «, -rU=2zdZy yjb-^- X =. ^z^ -^ b —a.

Substituant ces valeurs dans la fonction différentielle donnée , elle ne renfermera qu'un seul radical du second degré qui affectera une expression du second degré en z. On retombe ainsi dans le cas précédent.