On désigne sous ce nom les expressions de la forme
On p6ut toujours supposer m et n entiers; car s'ils étaient fractionnaires, la transformation indiquée dans le numéro précédent ramènerait à une expression semblable où les exposants de la variable seraient entiers. L'exposant^ est fractionnaire; car s'il était entier, on développerait la puissance de a -+- Aj:", et Ton aurait à intégrer un ftombre fini de monômes. Les signes de ces trois exposants sont arbitraires; mais on peut toujours supposer n positif: en effet, s'il était négatif, on pourrait multiplier le binôme a -\- bx" par x"" et ajouter np à l'exposant de jc"*, qui pourrait alors devenir fractionnaire, mais que Ton rendrait entier par la transformation déjà indiquée. On peut donc toujours supposer m et n entiers et n positif.
Nous emploierons d'abord la méthode de substitution, et nous poserons a -+- bx" = z , d'où
et, par suite,
ari
I t z — a \ • " '(ûf -h Ax«)/'ûte = -T2'' ( — 7 — ) ^ àz.
Donc SI est un nombre entier ppsitif ou négatif,
rèicpïsession en ^-n'aura plus d'irratioiinel- qtre hr-nrcf^
nôme z^, et on la rendra rationnelle par le procédé indiqué dans le numéro précédent. Si , par exemple , on a
p =: -» on posera z = f^, ce qui revient à faire d'abord
L'intégrabililé de la différentielle proposée est donc
assurée quand est un nombre entier, quelles que
soient d'ailleurs les deux quantités mein.
325. On peut arriver à un autre cas d'intégrabilité en mettant la différentielle donnée sous la forme
En effet, si Ton applique la condition qui vient d'être
trouvée en général , on trouve qu^on pourra l'intégrer si
m-h/ïP-l-i T . , m -\' i
est un nombre entier, ou si h p est
entier 5 condition qui pourra quelquefois être remplie quand la première ne le sera pas.
326. On peut appliquer l'intégration par parties à la même différentielle a:™ (a + ix")'' «te, en considérant ^ç""* (a -+- bx") P dx comme une différentielle exacte, dont l'intégrale est
nb{p^iy ^
On obtiendra ainsi
I or* ( a -H bx» ) Fdx = 1 ««-«+» x"-« ( a -+- ^ar» ) P dx
= J-) r-^ TT r ;x'»-«(a-f-&x")F+'<ir.
nb{p-i-î) nb{p-^i)J ^ *
Mais
«*^"(a 4- ba^)P-^' = ax"»-" {a H- ba^)P -4- ba^ [a H- ba^Y \ I. 29
45o LIVRK 111.
donc, en substituant, on aura
x"» (a -h ôx") P rfx = ,\ -^
^ nb{p^i)
m—n-\-\)ar , . .. m — n-f-i P , . x . — — (— I x"»-' •(aH-fcx»)P<ir r- I x« (a-h fcx")rdx.
Si Ton réduit le dernier terme de celle équation avec l'expression semblable qui se trouve dans le premier membre , on obtiendra la formule
On est ainsi ramené à intégrer une différentielle du même genre que la première , et qui n'en diffère qu*en ce que Texposant m est changé en m — n.
i^. Supposons que m soit positif et plus grand que n. En traitant cette nouvelle différentielle de la même manière que la précédente, on diminuera encore de n l'exposant de j: 5 et en continuant ainsi, Ton sera ramené , après un nombre k d'intégrations , à la différentielle jc«-*« (a -h bx'*)P dx^ et l'on effectuerait immédiatement Vinlégration si l'on avait
m — kn = n — 1, ou = ^ h- i .
Ce procédé conduira donc à l'intégrale cherchée toute$ les fois que m -h i sera divisible par n. C'est le premier cas d'intégrabilité que nous avions reconnu.
2^. Si m était négatif, la formule (i) ramènerait la différentielle proposée à une autre moins simple, puisque l'exposant du facteur monôme y aurait une valeur numériquement plus grande. Mais si l'on tire de cette même équation la valeur de la seconde intégrale en fonction de
la première , on aura une formule qui , dans le cas de Texposant négatif, ramènera rintégration proposée à une plus simple. Si en même temps on change m — n en — m, on aura la formule suivante :
Au moyen de cette formule ou abaissera l'exposant — m, puisqu'on le ramène à — m -\- n^ et que wpeut toujours être supposé positif. En continuant ainsi, l'on arrivera à l'exposant — m + kn -, et Ton pourra intégrer si Ton a
— m "h An ziz n — i , ou = 1 — X-.
Cette condition ramène encore au premier cas d'intégrabilité.
Lorsque la différentielle ne rentre pas dans ce cas , les formules (i) et (2) ramènent toujours l'exposant m à une valeur positive plus petite que n.
Les formules (i) et (2) ne peuvent être employées, la première lorsque l'on a w + w^ + i = o, la seconde lorsque /7i = I, parce qu'alors l'intégrale cherchée disparaît, et l'équation qui subsiste ne peut plus, par conséquent, en donner la valeur. Mais dans chacun de ces cas, l'une des conditions d'intégrabilité est satisfaite , et la différentielle devient rationnelle par la substitution que nous avons faîte en premier lieu.
327. La manière dont nous avons fait usage de l'intégration par parties avait pour objet de réduire l'exposant de X en dehors de la parenthèse. Mais on pourrait
452 LIVEE m.
la diriger de manière à réduire Pexposant du binôme
En effet, si Ton considère x^dx comme différentielle, on trouvera
m -h I npb
— I x"'-^"(a -^ ba:")P-^dx,
Dans celle dernière intégrale on peut abaisser Texposant ni -h n sans changer l'exposant ;; — i , par le procédé employé dans le n° 326, et Ton obtiendra ainsi
/, , , x^-^'ia-^ bjc^)P m-^np-iri
—^ ^ '^f^-k'bx^)P-'dx,
■ np '
Cette formule deviendrait illusoire dans le cas déjà examiné, où. Ton aurait
m -\- np -^ \ = o .
En appliquant le même calcul à la différentielle
a:"((7 -h bji^)P'^ dx^
on abaissera d'autant d'unités que Ton voudra l'exposant de (a-+- hx""^^ dans le cas où p sera positif, et l'on parviendra à un exposant compris entre o et i. Celui du facteur x"* est resté le même; mais on pourra le réduire ensuite comme on Ta indiqué précédemment : et si la différentielle ne devient pas intégrable , elle sera du moins i
simplifiée le plus possible. î
Si p est négatif, on tirera de l'équation (3) la valeur de '
la dernière intégrale, qui se trouvera ramenée à une plus ;
simple. Changeant p en — p ^ pour expliciter son signe,
puis mettant p au lieu de ^ -f- 1, on obtient
[ I x^ (a -h bx")''P dx z^ ^-î^ (
(i) )J an(p^i)
Cette formule ne deviendra illusoire que dans le cas où p = i. Mais alors la différentielle proposée est rationnelle, à moins que m ne soit fractionnaire; et, dans ce cas , on emploierait une transformation déjà indiquée.
Au lùoyen de la formule (4), l'exposant négatif — p peut être successivement augmenté d'autant d'unités que l'on voudra , et sera ramené à être compris entre o et -h i . On pourra ensuite réduire Texposant de x"* sans changer celui qui affectera le binôme (a -h £x").
328. Prenons d'abord pour exemple la différentielle , dans laquelle m désigne un nombre entier po-
silif. Elle est toujours intégrable; car on a
Donc SI n est pas entier, 1- P le sera, Si on
lui applique la formule (i), ou si on l'intègre directement
par parties , on trouvera
L'exposant m étant ainsi abaissé de deux unités , on
arrivera, en continuant d'appliquer le même procédé, à
T, j j . r xdx C (^^
1 une des deux expressions J - j ,i
, suivant
4^4 «LIVSK III.
que m sera impair ou pair; la première a pour intégrale — V^i — x' ^ et la seconde, arc sin x.
On parvient ainsi à la formule suivante , dans le cas de m impair,
(m-i)(m-3)...a "^(m-aJCm — 4)...i
On trouverait, dans le cas de m pair,
,=.-^^ÎEf!^^-.■^;!Ln^-.■^...■^("-■Km-3)■■î^.
« m [ m — a (ot— a) (m — 4)" ^J
+- ; rr rr arC Sin X -f- L.
Si Ton supposait Texposan t négatif et représenté par — m , la formule de réduction serait la suivante :
/x"^dx x-"+' v/î— ar» m — 2 Z'^r-»*-' rfx
Le seul cas où elle ne puisse être appliquée est celui où
771= i; il s'agît alors d'intégrer — . On pourra
employer pour cela la transformation relative aux radicaux du second degré , et poser
d'où
— a?» = I -f- ara ;
— j; = az 4- xz^,
— dx= 7.dz H- %xzdz -f- z^dx^
dx dx
2 dz dx dz
i-hxz ^l-^x^
i-f-z' xsji-^x^ ^
Donc
si
nous
DKS LIMITES U£ SOMMES. 4^^
On serait arrivé plus simplement au même résultat, en
posant x= -<i ce qui aurait donné -^ j que
avons intégré précédemment.
La différentielle — ■ ■ s'intégrera de même en po-
ou r/.arccosz;
= arc cos - -I- C.
dx On traitera de la même manière la différentielle — ■ 5
et Ton y ramènerait la suivante — sl±a^±x^ en mul-
tipliant et divisant par le radical.
On trouvera ainsi :
/dxJa^—x^ /— , âr-hi/«* — x' 1 = V«'— «' — «1. hC.
