CHAPITRE VL

INTÉGRATION DES FONCTIONS EXPONENTIELLES, LOGARITHMIQUES y ET CIRCULAIRES.

I 330. Si l'on sait intégrer la différentielle F {x) /ir , on

saura aussi intégrer les suivantes , par une simple substitution :

\ F {€*)€* dxj ¥{\x)—, ¥(s\nx)cosxdXy

dx Y {co^ x) un xdx y F{arcsina?) ■ %

VI— X' F(arccosj:) Y (arc tangj:)

On voit de même que si F désigne une fonction algébrique , on rendra algébriques les différentielles

F {é*) dxy F (sinx, ces x) dx^ F ( sin J?, sin 2 J?, . . . , ces x, cos 2ar, . . . ) dx^

en posant respectivement

e* zizzy sin j; = Zy ou cosx = z.

331. Soit maintenant la différentielle Vz'^dx^ dans laquelle z désigne une fonction transcendante. Si Ton pose

e( que Ton puisse obtenir les fonctions désignées par

458 LIVftE III.

Q, R, S, etc., rimégration par parties fera connaître fPz^dx, En effet, on aura

/qz'— ^ ^-^ = R^--*' - (/i — i) Alz»-* -^rfx,

et ainsi de suite. Donc

/Pz-rfx = Qz" — AiR«''-'H-/i(/ï — 1)82"-*

332. Si Ton suppose P = i et que l'on fasse successivement -z = Ix, z z=z arc sinx, ou trouvera

arcsinx (arcsinx)* I

(arcsinx)' ' '-J

/l"xdx = x[l»x— ni»-» x-t-n(n — i)b-»x— ...:±:a(rt— i)...a. l]4-C,

l(arc8lnx)»-HC.

Si l'on suppose P = o:^"* et « = Ix, on aura

*—• l»X<tc= 11"! ,\n-r x-+--^ ; -M»-» X — . . . dl -> -fC

m \ m nr m* J

Si, dans la première et la dernière de ces trois formules, on pose la: = z, elles deviennent

si, dans la seconde, ou pose arc sinj: = z, d'où

X =: sin s, dx = ces zdz, elle devient

y«»cosW«=z=sinz[«'' — «(/i — 1) z^-'-f-. . .]